2.8 الدوال الانتقالية للأنظمة الكهروميكانيكية 

الأنظمة الكهروميكانيكية تربط الديناميكيات الكهربائية (تيارات، جهود) بالميكانيكية (قوى، عزوم). إطار الدوال الانتقالية يوحد هذه المجالات حتى تتنبأ بكيفية تأثير الجهد الكهربائي على الحركة الميكانيكية والعكس صحيح.

لماذا هذا مهم؟ 

أغلب المشغلات (Actuators) مثل محركات التيار المستمر (DC Motors)، الملفات الصوتية (Voice Coils)، والملفات اللولبية (Solenoids) تقع في قلب أنظمة التحكم.
تصميم المتحكمات يتطلب نموذجًا واحدًا يربط بين الجهد المدخل والخرج الميكانيكي.

الإستراتيجية 

اكتب المعادلة الكهربائية (عادةً بقوانين كيرشوف). لمحرك تيار مستمر في الدائرة العضوية: $$ v(t) = L \frac{di(t)}{dt} + R i(t) + e_b(t), $$ حيث $ e_b = K_e \dot{\theta}(t) $ هو قوة الدفع العكسية (Back-EMF).
اكتب المعادلة الميكانيكية (توازن العزوم): $$ J \ddot{\theta}(t) + b \dot{\theta}(t) + \tau_L(t) = K_t i(t). $$ هنا $ K_t $ ثابت العزم و$ \tau_L $ عزم الحمل المزعج.
حوّل المعادلتين إلى مجال $ s $ وتخلص من المتغير الداخلي $ I(s) $ للحصول على الدالة الانتقالية المطلوبة، مثل $ \Theta(s)/V(s) $ أو $ \Omega(s)/V(s) $.

اشتقاق: محرك تيار مستمر مع تحكم عضوي (دون عزم حمل) 

تحويل المعادلة الكهربائية يعطي: $$ V(s) = L s I(s) + R I(s) + K_e s \Theta(s). $$

والمعادلة الميكانيكية: $$ J s^2 \Theta(s) + b s \Theta(s) = K_t I(s). $$

حل المعادلة الميكانيكية بالنسبة إلى $ I(s) $ ثم استبدل:

$$ I(s) = \frac{J s^2 + b s}{K_t} \Theta(s). $$

بالتعويض في المعادلة الكهربائية وإعادة الترتيب:

$$ V(s) = \left[ \frac{L}{K_t} s (J s^2 + b s) + \frac{R}{K_t} (J s^2 + b s) + K_e s \right] \Theta(s). $$

بتجميع الحدود:

$$ V(s) = \left( \frac{LJ}{K_t} s^3 + \frac{Lb + RJ}{K_t} s^2 + \frac{Rb}{K_t} s + K_e s \right) \Theta(s). $$

إذًا

$$ G(s) = \frac{\Theta(s)}{V(s)} = \frac{K_t}{LJ s^3 + (Lb + RJ) s^2 + (Rb + K_t K_e) s}. $$

إن أردت السرعة الزاوية (Angular Velocity)، اضرب البسط والمقام في $ s $ لتحصل على $ \Omega(s) = s \Theta(s) $.

إضافة عزم حمل أو تخفيض تروس 

أدخل $ \Tau_L(s) $ في المعادلة الميكانيكية واستكمل الاشتقاق لتحصل على دالة اضطراب $ \Theta(s)/\Tau_L(s) $. ومع تخفيض التروس، استبدل $ J $ و$ b $ بقيمهما المكافئة من القسم 2.7.

graph TD
    V["V(s)"] --> armature["Ls + R"]
    armature -->|"I(s)"| torqueSource["K_t"]
    torqueSource --> plant["Js² + bs"]
    plant -->|"Θ(s)"| output["Mechanical Output"]
    plant --> backEMF["K_e·s"]
    backEMF --> armature

يذكّرك المخطط بأن كل تيار يولد عزمًا، والحركة الناتجة تولد قوة دفع عكسية تغلق الحلقة.

مهمتك 

اختر مشغلًا يهمك—محرك تيار مستمر عديم الفُرَش (Brushless DC Motor) (تجاهل تفاصيل التبديل مؤقتًا)، ملفًا صوتيًا، أو ملفًا لولبيًا يقود كتلة. اشتق الدالة الانتقالية الكاملة من الجهد إلى الموضع. أثناء العمل، توقف بعد التخلص من المتغيرات الداخلية وتحقق من اتساق الأبعاد. إذا لم تتطابق وحدات البسط مع المقام، فراجع خطواتك قبل المتابعة.