2.7 الدوال الانتقالية للأنظمة المزودة بتروس 

التروس تحوّل العزم والسرعة بين الأعمدة. في مجال لابلاس، تقوم بتمديد أو تقليص المتغيرات الزاوية وتعكس العطالات والممانعات. فهم هذه التحويلات يسمح لك بدمج القطار التروسي في نموذج مكافئ بمحور واحد.

لماذا يهم هذا القسم؟ 

• التخفيضات التروسية شائعة في مفاصل الروبوتات، توربينات الرياح، ونواقل الحركة.
• دون ترجمة المعاملات بشكل صحيح، قد تضع الأقطاب في أماكن خاطئة أو تخطئ تقدير إمكانية التحكم.

علاقات التروس 

لزوج تروس بنصف قطري $ r_1, r_2 $ (أو عدد أسنان $ N_1, N_2 $):

$$ \theta_1 = \frac{N_2}{N_1} \theta_2, \qquad \omega_1 = \frac{N_2}{N_1} \omega_2, \qquad \tau_1 = \frac{N_1}{N_2} \tau_2. $$

الفكرة: الترس الأسرع يسلم عزمًا أقل لكنه يتحرك بزاوية أكبر.

انعكاس العطالات والتخميد 

عند “انعكاس” معاملات الحمل إلى محور المحرك، اضرب في مربع نسبة التروس:

$$ J_{\text{ref}} = J_{\text{load}} \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2, \qquad b_{\text{ref}} = b_{\text{load}} \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2. $$

تُبسّط هذه الخطوة القطار التروسي إلى عطالة مكافئة واحدة يراها المحرك. تحقق من معامل التربيع عبر حفظ الطاقة الحركية الدورانية ومساواة العزوم.

graph LR
    TauMotor["τ_m(s)"] --> gearRatio["N1:N2"]
    gearRatio --> reflectedInertia["J_ref·s + b_ref"]
    reflectedInertia --> ThetaLoad["Θ_load(s)"]

دالة انتقالية بلا خسائر 

افترض أن عزم المحرك $ \tau_m(t) $ يقود عطالة حمل $ J_L $ عبر نسبة تروس $ N = N_1/N_2 $ بلا خسارة. بعد الانعكاس إلى جانب المحرك:

$$ J_{\text{eq}} = J_m + J_L N^2, \qquad b_{\text{eq}} = b_m + b_L N^2. $$

الدالة الانتقالية من عزم المحرك إلى سرعته الزاوية:

$$ G(s) = \frac{\Omega_m(s)}{\Tau_m(s)} = \frac{1}{J_{\text{eq}} s + b_{\text{eq}}}. $$

إن أردت السرعة على جهة الحمل، اضرب بنسبة التروس: ‏$ \Omega_L(s) = \frac{1}{N} \Omega_m(s) $.

إدخال خسائر التروس 

تظهر الخسائر كتخميد إضافي أو معامل كفاءة. لنفرض كفاءة $ \eta $ (العزم المنقول $ \eta \tau_m $)، وأضف تخميدًا لزجًا $ b_g $ لاحتكاك المحامل.

معادلة العزم تصبح:

$$ J_{\text{eq}} s \Omega_m(s) + (b_{\text{eq}} + b_g) \Omega_m(s) = \eta \Tau_m(s), $$

إذًا

$$ G_{\text{loss}}(s) = \frac{\Omega_m(s)}{\Tau_m(s)} = \frac{\eta}{J_{\text{eq}} s + b_{\text{eq}} + b_g}. $$

قارن بين $ G_{\text{loss}}(s) $ والحالة المثالية ولاحظ كيف تغيّر الكفاءة والاحتكاك موقع القطب.

دورك الآن 

كوّن قطار تروس من مرحلتين وانعكس الحمل البعيد إلى محور المحرك. تحقق من نتيجتك بحساب تدفق القدرة: يجب أن تساوي قدرة الدخل القدرة الناتجة مقسومة على حاصل ضرب الكفاءات. إذا لم تتطابق القيم، راجع حسابات نسب التروس قبل الانتقال إلى الارتباطات الكهروميكانيكية.