2.6 الدوال الانتقالية للأنظمة الميكانيكية الدورانية 

عندما ينطوي السلوك على إزاحة زاوية، حوّل تركيزك إلى العزوم والعطالة الدورانية. العملية تشبه النمذجة الانتقالية، لكن لكل عنصر نظير دوران.

لماذا هذا أساسي؟ 

أعمدة الموتورات، قطارات التروس، المراكم الدوّارة، وأنظمة التعليق الالتوائي تخضع لهذه الديناميكيات.
الدوال الانتقالية الدورانية تمكّنك من توقع التجاوز في محركات السيرفو وتقييم الرنين الالتوائي في الأعمدة.

وصفة النمذجة 

اختر الإحداثي المعمم ‏$ \theta(t) $ التي تهمك—ربما زاوية الحمل أو سرعة دوار.
طبّق قانون نيوتن الدوراني ‏$ \sum \tau = J \ddot{\theta} $، حيث $ J $ هو عزم القصور (Moment of Inertia).
أضف عناصر التخزين والتخميد:
- نابض التواء (Torsional Spring): ‏$ k_t (\theta - \theta_\text{ref}) $.
- مثبط التواء (Rotational Damper): ‏$ b_t (\dot{\theta} - \dot{\theta}_\text{ref}) $.
حوّل إلى مجال $ s $ واحصل على الدالة الانتقالية التي تربط عزم الدخل بإزاحة أو سرعة زاوية.

مثال: حمل محرك مع ليونة في العمود 

$$ J \ddot{\theta}(t) + b_t \dot{\theta}(t) + k_t (\theta(t) - \theta_\text{base}(t)) = \tau(t). $$

مع افتراض قاعدة ثابتة ($ \theta_\text{base} = 0 $)، يصبح:

$$ J s^2 \Theta(s) + b_t s \Theta(s) + k_t \Theta(s) = \Tau(s), $$

إذن

$$ G(s) = \frac{\Theta(s)}{\Tau(s)} = \frac{1}{J s^2 + b_t s + k_t}. $$

ممانعات الدوران 

تساعدك النظائر في تتبع العناصر عند توصيل مكونات متعددة:

العطالة $ J $: ‏$ Z_J(s) = J s $ (العزم مقسوم على السرعة الزاوية).
المثبط $ b_t $: ‏$ Z_{b_t}(s) = b_t $.
نابض الالتواء $ k_t $: ‏$ Z_{k_t}(s) = \frac{k_t}{s} $.

اجمع الأعمدة المتسلسلة عبر جمع ممانعات النوابض الالتوائية، واجمع الأحمال المتوازية عبر جمع العزوم.

graph LR
    TauIn["τ(s)"] --> inertia["J·s"]
    inertia --> damper["b_t"]
    damper --> spring["k_t/s"]
    spring --> Theta["Θ(s)"]

اختبار تفاعلي 

افترض أن محركًا يقود عطالتين $ J_1 $ و$ J_2 $ عبر عمود مرن $ k_t $. اكتب موازين العزم لكل عطالة، حوّل، واحصل على الدالة الانتقالية من عزم المحرك إلى $ \theta_2 $. توقع مقامًا من الدرجة الرابعة—إن لم يظهر لديك، فراجع معادلاتك المتزامنة. هذه العادة تساعدك على اكتشاف الأخطاء باكرًا.

وفي الختام، اسأل نفسك كيف يؤثر وضع المثبط على مواقع الأقطاب. أضف مثبطًا التوائيًا على جانب المحرك أو الحمل ولاحظ كيف تتغير معاملات المقام. هذه الملاحظات تقودك إلى قرارات عملية مثل موضع وصلات التخميد أو الماصات المضبوطة.