2.5 الدوال الانتقالية للأنظمة الميكانيكية الانتقالية 

الميكانيكا الانتقالية تعكس تحليل الدوائر عندما تضع نيوتن في ذهنك. مجموع القوى يساوي الكتلة مضروبة في التسارع، وكل عنصر ميكانيكي يضيف ممانعة تعتمد على $ s $.

لماذا نهتم؟ 

تظهر هذه النماذج في الروبوتات، المركبات، عزل الاهتزازات، وأنظمة التموضع الدقيقة.
فهم الدالة الانتقالية يسمح لك بالتنبؤ بالرنين، تصميم المخمدات، وضبط حلقات التغذية الراجعة.

ابنِ النموذج بخطوات 

ارسم مخطط الجسم الحر (Free-Body Diagram). عيّن كل قوة تؤثر في الكتلة التي تتابعها. اسأل نفسك: أي إزاحة أو سرعة أو قوة تريدها كخرج؟
اكتب قانون نيوتن ‏$ \sum F = m \ddot{x} $. ضمّن قوى النوابض $ k(x - x_\text{ref}) $، المثبطات $ b(\dot{x} - \dot{x}_\text{ref}) $، والمدخلات الخارجية.
حوّل المعادلة باستخدام تحويل لابلاس بافتراض شروط ابتدائية صفرية.
حلّ للحصول على نسبة الخرج (إزاحة، سرعة، قوة) إلى الدخل. هذه هي الدالة الانتقالية.

مثال: استجابة كتلة-زنبرك-مثبط 

$$ m \ddot{x}(t) + b \dot{x}(t) + k x(t) = F(t). $$

بعد التحويل:

$$ m s^2 X(s) + b s X(s) + k X(s) = F(s). $$

إذًا

$$ G(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{m s^2 + b s + k}. $$

حلل الناتج:

أين تقع الأقطاب؟ حل $ m s^2 + b s + k = 0 $ لتحصل على الترددات الطبيعية.
ماذا لو $ b = 0 $؟ سترى أقطابًا غير مخمدة على المحور التخيلي.

نظائر العناصر في مجال $ s $ 

الكتلة $ m $: ممانعة $ Z_m(s) = m s $ (القوة مقسومة على السرعة).
المثبط $ b $: ممانعة $ Z_b(s) = b $.
النابض $ k $: ممانعة $ Z_k(s) = \frac{k}{s} $.

يسمح لك هذا القياس بجمع العناصر كما في الدوائر الكهربائية. على سبيل المثال، زنبركان على التوالي يتصرفان مثل المقاومات على التوالي عند التعبير عن الممانعة.

graph LR
    Fext["F(t)"] --> mass["m·s"]
    mass --> damper["b"]
    damper --> spring["k/s"]
    spring --> Xs["X(s)"]

تحدٍّ لك 

نمذج نظامًا مكوّنًا من كتلتين وزنبركين وقوة خارجية تؤثر على الكتلة الأولى. اشتق الدالة الانتقالية من القوة المدخلة إلى إزاحة الكتلة الثانية. أثناء الحل، توقف بعد كل خطوة لتحويل لابلاس واسأل: كيف يضيف عنصر تخزين جديد درجة إضافية للمقام؟ توقع هذه الزيادات والتحقق منها يبني الحدس المطلوب للأنظمة الأكثر تعقيدًا.