2.3 الدالة الانتقالية 

الدالة الانتقالية (Transfer Function) تحوّل “الفيزياء + تحويل لابلاس” إلى نموذج تصميم مضغوط. إذا كان لديك نظام خطي زمني ثابت (LTI) يحكمه:

$$ a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n} + \cdots + a_1 \dot{y}(t) + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m u(t)}{dt^m} + \cdots + b_1 \dot{u}(t) + b_0 u(t), $$

فإن الدالة الانتقالية $ G(s) $ تُعرَّف كنسبة تحويل لابلاس للخرج إلى الدخل مع شروط ابتدائية صفرية:

$$ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}. $$

لماذا نصرّ على الشروط الابتدائية الصفرية؟ لأننا نريد كتلة (Block) تمثل الديناميكيات الذاتية للنظام فقط، بعيدًا عن كيفية تشغيله. بمجرد تقبّل ذلك، تصبح وصل الأنظمة أو التغذية الراجعة عمليات جبرية صافية.

خطوات اشتقاق $ G(s) $ 

حوّل طرفي المعادلة باستخدام تحويل لابلاس. كل مشتق يتحول إلى قدرة لـ $ s $ مضروبة في تحويل الدالة.
اجمع الحدود المضروبة في $ Y(s) $ على اليسار، وتلك المضروبة في $ U(s) $ على اليمين.
حل جبريًا للحصول على النسبة $ Y(s)/U(s) $.

طبّق الآن على نموذج كتلة-زنبرك-مثبط (Mass-Spring-Damper) الكلاسيكي:

$$ m\ddot{x}(t) + b\dot{x}(t) + k x(t) = f(t). $$

بعد التحويل:

$$ m s^2 X(s) + b s X(s) + k X(s) = F(s). $$

بعزل $ X(s) $ تحصل على:

$$ G(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{m s^2 + b s + k}. $$

لاحظ غياب أي إزاحة أو سرعة ابتدائية—الدالة الانتقالية تصف العلاقة الثابتة بين القوة والإزاحة في مجال $ s $.

الأقطاب والأصفار 

حاول تحليل البسط والمقام:

الأقطاب (Poles): جذور المقام وتكشف الأنماط الطبيعية. هل تقع في النصف الأيسر المستقر أم على اليمين غير المستقر؟
الأصفار (Zeros): جذور البسط وتوضح الترددات التي يلغيها النظام.

ماذا تفعل بـ $ G(s) $؟ 

بمجرد امتلاكها تستطيع:

جمع الأنظمة بالتسلسل عبر الضرب، أو التعامل مع التغذية الراجعة بمعادلات معروفة.
التنبؤ بالاستجابات الزمنية عبر الكسور الجزئية والتحويل العكسي.
المرور إلى استجابة التردد عبر استبدال $ s = j\omega $.

قبل الانتقال، اختر معادلة تفاضلية تخصّك (دائرة RLC أو نظام حراري). اشتق $ G(s) $، حدّد الأقطاب، ثم اسأل نفسك: كيف سيكون الخرج إذا طبقت خطوة وحدة؟ هذا التدريب العقلي يجهّزك للأنظمة المتخصصة في الأقسام التالية.