2.2 مراجعة تحويل لابلاس 

قبل التعمق، تذكّر ما يفعله تحويل لابلاس (Laplace Transform) حقيقةً: إنه يربط دالة زمنية $ f(t) $ (حيث $ t \ge 0 $) بمجال الترددات المركبة عبر إسقاطها على الأسس المتضائلة. عندما تحسب

$$ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_{0^-}^{\infty} f(t), e^{-st}, dt، $$

فأنت تسأل: إلى أي درجة يتناغم $ f(t) $ مع $ e^{st} \؟

لماذا نحتاجه؟ 

• الاشتقاق يتحول إلى ضرب في $ s $: ‏$ \mathcal{L}{\dot{f}(t)} = sF(s) - f(0^-) $. هذه هي المفاتيح التي تفتح الباب أمام معالجة نماذج الأنظمة جبريًا.
• الالتفاف (Convolution) يصبح ضربًا؛ بالتالي تتبدل وصلات الزمن المعقدة إلى جداءات بسيطة في المجال $ s $.
• الشروط الابتدائية تظهر صراحةً، لتختار متى تضيفها أو تهملها (أغلب تحليل الدالة الانتقالية يفترض شروطًا ابتدائية صفرية).

عُدّة سريعة بين يديك 

احتفظ بهذه التحويلات المألوفة، وجرّب كتابتها من الذاكرة بعد المراجعة:

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}{1} &= \frac{1}{s}, \qquad & \mathcal{L}{e^{at}} &= \frac{1}{s-a}, \ \mathcal{L}{\sin \omega t} &= \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}, \qquad & \mathcal{L}{\cos \omega t} &= \frac{s}{s^2 + \omega^2}. \end{aligned} $$

اختبر ذاكرتك: غطِّ الطرف الأيمن وأعد اشتقاقه من المعادلة التفاضلية التي تحققها $ f(t) $.

تمرين سريع للتحويل العكسي 

افترض أنك حصلت على

$$ F(s) = \frac{3s + 5}{s^2 + 4s + 5}. $$

أكمل مربع المقام، ثم اقسم الكسر إلى جزء يشبه جيب التمام وآخر يشبه الجيب، واعكس التحويل:

$$ F(s) = \frac{3(s+2) - 1}{(s+2)^2 + 1} \quad \Rightarrow \quad f(t) = 3 e^{-2t} \cos t - e^{-2t} \sin t. $$

تحدَّ نفسك: ما الشروط الابتدائية التي تعطي هذا $ F(s) $ إذا كانت الدالة الزمنية تحقّق $ \ddot{f} + 4\dot{f} + 5f = 0 $؟

تلميح للممارسة 

اختر أي معادلة تفاضلية من الفيزياء (سقوط حر مع مقاومة، دائرة RC تشحن)، ثم:

1. اكتب المعادلة بدلالة $ f(t) $ ومشتقاتها.
2. طبّق تحويل لابلاس مصطلحًا مصطلحًا.
3. حل جبريًا للحصول على $ F(s) $.
4. خذ التحويل العكسي (Inverse Laplace Transform).

تكرار الخطوات يرسّخ أسلوب “عالج في مجال $ s $، ثم فسّر في الزمن”، وهو ما يحدد بقية الفصل.