2.11 الخطية الجزئية 

الخطية الجزئية (Linearization) هي جسر بين النظام اللاخطي وأدوات التحكم الخطية التي طوّرناها. من خلال تقريب النظام حول نقطة تشغيل، تستخلص دالة انتقالية تصف الانحرافات الصغيرة—even عندما يكون النظام الأصلي لاخطيًا.

لماذا لا غنى عنها؟ 

أكثر حلقات التحكم تنظّم حول توازن محدد. الانحرافات الصغيرة تحدد الاستقرار والأداء.
النماذج الخطية تسمح لك بإعادة استخدام تقنيات ضبط الأقطاب، ضبط PID، واستجابة التردد بثقة.

سير العمل 

حدد نقطة التشغيل ‏$ (\bar{x}, \bar{u}) $ حيث النظام في حالة توازن: ‏$ f(\bar{x}, \bar{u}) = 0 $.
عرّف الاضطرابات ‏$ \tilde{x} = x - \bar{x} $، ‏$ \tilde{u} = u - \bar{u} $، ‏$ \tilde{y} = y - \bar{y} $.
احسب المشتقات الجزئية لبناء مصفوفات يعقوبيان (Jacobian Matrices): $$ A = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|{(\bar{x}, \bar{u})}, \qquad B = \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|{(\bar{x}, \bar{u})}, $$ $$ C = \left. \frac{\partial g}{\partial x} \right|{(\bar{x}, \bar{u})}, \qquad D = \left. \frac{\partial g}{\partial u} \right|{(\bar{x}, \bar{u})}. $$
اكتب النموذج الخطي ‏$ \dot{\tilde{x}} = A \tilde{x} + B \tilde{u} $، ‏$ \tilde{y} = C \tilde{x} + D \tilde{u} $.
استخرج الدالة الانتقالية باستخدام ‏$ G(s) = C (sI - A)^{-1} B + D $.

مثال: رقاص حول الوضع العلوي 

المعادلة اللاخطية: $$ \ddot{\theta} + \frac{b}{mL^2} \dot{\theta} + \frac{g}{L} \sin \theta = \frac{1}{mL^2} u, $$ حيث $ u $ العزم الخارجي.

نقطة التوازن عند $ \bar{\theta} = 0 $ (الرأسية)، $ \bar{u} = 0 $. لنخطِّها بتقريب $ \sin \theta \approx \theta $:

$$ \ddot{\tilde{\theta}} + \frac{b}{mL^2} \dot{\tilde{\theta}} + \frac{g}{L} \tilde{\theta} = \frac{1}{mL^2} \tilde{u}. $$

وعليه، $$ G(s) = \frac{\tilde{\Theta}(s)}{\tilde{U}(s)} = \frac{1/mL^2}{s^2 + \frac{b}{mL^2} s + \frac{g}{L}}. $$

اسأل نفسك: ماذا يحدث لو خطّيت حول الوضع السفلي ($ \bar{\theta} = \pi $)؟ ستنقلب إشارة معامل الصلابة، ما يكشف عن قطب غير مستقر—وهو ما تتوقعه فيزيائيًا.

تخيّل الفكرة 

تخيل أنك تكبّر المنحنى اللاخطي قرب نقطة التوازن؛ الخط المماس هو نموذجك الخطي. إذا بقي نطاق التشغيل داخل تلك المنطقة المصغّرة، يظل التقريب صالحًا. عند الابتعاد، يفقد النموذج الخطي دقته.

تدريب سريع 

خذ لاخطية الإشباع مع المنطقة الميتة من القسم 2.10 وخطِّها حول نقطة انحياز يعمل فيها المشغل ضمن المنطقة الخطية. احسب الميل $ \frac{dy}{du} $ ولاحظ غياب الحدود الأعلى. ثم كرّر حول نقطة داخل المنطقة الميتة—لاحظ أن الميل صفر، ما يعني غياب سلطة التحكم. يرسّخ هذا التمرين البسيط أهمية اختيار نقطة التشغيل الصحيحة بقدر أهمية عملية الخطية نفسها.