2.10 اللاخطيات 

نادراً ما تتصرف الأنظمة الواقعية بخطية مثالية. الإشباع (Saturation)، المناطق الميتة (Dead Zones)، الاحتكاك الجاف (Coulomb Friction)، والارتخاء في التروس (Backlash) كلها عناصر لاخطية تزيد التحليل تعقيدًا. إدراك هذه اللاخطيات ونمذجتها يهيئك لتقدير متى يمكن تبسيطها ومتى يجب أخذها بجدية.

لماذا نعيد زيارة السلوك اللاخطي؟ 

اللاخطيات تحد الأداء؛ تخيل إشباع المشغل الذي يقص استجابة الخطوة.
يمكن أن تولد دورات حدية (Limit Cycles) أو اهتزازات غير متوقعة إذا تجاهلتها.
فهم شكلها يساعدك على تقرير متى تكفي النماذج الخطية ومتى تتطلب معالجة خاصة.

أبرز اللاخطيات 

تعرف على كل واحدة في تطبيقك:

الإشباع (Saturation): يثبت الخرج عند قيمة قصوى/دنيا. مثال: حدود جهد مضخم.
المنطقة الميتة (Dead Zone): المداخل الصغيرة لا تنتج أي خرج. مثال: فراغ في عصا التحكم.
الاحتكاك الجاف (Coulomb Friction): قوة ثابتة معاكسة بغض النظر عن اتجاه السرعة.
الارتخاء (Backlash): فراغ بين أسنان التروس يؤخر نقل العزم.
سلوك المرحل (Relay Behavior): يتحول فجأة بين خرجين محددين.

ارسم مخطط الدخل/الخرج لكل لاخطية وحدد النقاط الفاصلة. الرؤية البصرية تساعدك لاحقًا عند تقريبها.

إدراج اللاخطيات ضمن إطار لابلاس 

تحويل لابلاس يفترض الخطية، لكن لا يزال بإمكانك التفكير في العناصر اللاخطية عبر:

النمذجة المقطعية: اعتبر النظام خطيًا داخل مناطق تشغيل محددة وبدّل النموذج عند الانتقال بينها.
دالة الوصف (Describing Function): تقريب بعض اللاخطيات (مثل الإشباع أو المنطقة الميتة) بمكسب يعتمد على سعة إشارة جيبية.
التخطية الراجعة الخطية (Feedback Linearization): تصميم متحكمات تلغي الحدود اللاخطية (يتطلب معرفة دقيقة وقد يكون حساسًا للأخطاء).

مثال سريع: إشباع مع ديناميكيات خطية 

تخيل نباتًا $ G(s) $ مع إشباع في المشغل عند $ \pm U_{\max} $. أثناء التشغيل صغير الإشارة استخدم النموذج الخطي. عندما يطلب المتحكم جهدًا يتجاوز $ U_{\max} $، يُقص المدخل. اسأل نفسك: هل يظل النظام المغلق يلبي زمن الاستقرار المطلوب تحت الإشباع؟ حاكي أو ارسم الاستجابة للتحقق.

لمحة عن دالة الوصف 

بالنسبة للإشباع المتماثل ذي الميل $ K $ في المنطقة الخطية وإشباع عند $ \pm a $، تكون دالة الوصف $ N(A) $ لإشارة جيبية بسعة $ A $ (حيث $ A > a/K $):

$$ N(A) = \frac{2}{\pi A} \left[ a \sqrt{A^2 - \left(\frac{a}{K}\right)^2} + \left(\frac{a}{K}\right)^2 \cos^{-1}\left(\frac{a}{K A}\right) \right]. $$

اعتمادها على $ A $ يذكّرك بأن “المكسب” ليس ثابتًا. استخدم دالة الوصف عندما تبحث عن دورات حدية في أنظمة شبه خطية.

تحقق ذاتي 

اختر لاخطية لاحظتها مؤخرًا. ارسم منحنى الدخل/الخرج، ثم اكتب كيف ستقربها لاضطرابات صغيرة حول نقطة تشغيل. اسأل نفسك: أي سلوك مهم نخسره في هذا التقريب؟ الإبقاء على هذا السؤال يمهدك لأساليب الخطية في القسم التالي.