13.9 تصميم الكسب على مستوى z
يُعد ضبط كسب الحلقة في مستوى $z$ أسرع طريقة لتحقيق مواصفات الاستجابة العابرة قبل اللجوء إلى المعوضات. توضح هذه الفقرة كيفية استخدام مخطط الجذور المتقطع (Discrete Root Locus) وأدوات الحساسية لضبط الكسب بذكاء.
- لماذا: ينقل تغيير الكسب مواقع الأقطاب وفق مسارات متوقعة؛ إتقان ذلك يسمح لك بتحقيق المواصفات بأقل تعقيد في المتحكم.
- كيف: ابنِ مخطط الجذور المتقطع، حدّد مواقع الأقطاب المرغوبة من الفقرة 13.8، واحسب قيم الكسب التي تحقق الأهداف.
اتبع مخطط العمل التالي في مشروعك:
- كوّن دالة الحلقة المفتوحة $L(z) = K \frac{N(z)}{D(z)}$.
- ارسم أو احسب مخطط الجذور بتغيير $K \ge 0$. ركّز على نقاط تقاطع المسار مع خطوط التخميد والتردد المطلوبة.
- احسب $K$ باستخدام شرط المقدار $|L(z)| = 1$ عند القطب المرغوب $z_d$.
اعمل على مثال محدد: لنفرض $L(z) = K \frac{z-0.3}{(z-0.8)(z-0.6)}$ وتريد أقطابًا عند $z_d = 0.6 \pm j0.3$.
$$ K = \frac{|(z_d-0.8)(z_d-0.6)|}{|z_d - 0.3|}. $$
احسب $K$، ارسم الأقطاب مغلقة الحلقة، وتحقق من الاستجابة العابرة بالمحاكاة. سجّل نسبة التجاوز وزمن الاستقرار، ثم قرر إذا ما كنت تحتاج إلى ضبط بسيط.
اجعل العملية تفاعلية عبر الإجابة عن هذه الأسئلة في تصميمك:
- أين يغادر المخطط المحور الحقيقي؟ هل يطابق قواعد مخطط الجذور التي تعرفها من الأنظمة المستمرة؟
- ما مدى قيم الكسب التي تبقى الأقطاب خلالها داخل دائرة الوحدة؟
- ما مدى حساسية نسبة التجاوز لتغيرات صغيرة في الكسب؟
أضف مهمة برمجية سريعة: اكتب سكربتًا يمسح قيم $K$ ضمن نطاق، يحسب مقدار القطب المسيطر، ويرسم زمن الاستقرار مقابل $K$. ضع تعليقات على الرسم لتوضح المجال القابل للتحقيق بالمواصفات. يصبح هذا الرسم لوحة القيادة لتصميمك في خطوات المعوض التالية.