13.8 الاستجابة العابرة على مستوى z
تتحول مواصفات الاستجابة العابرة—مثل نسبة التجاوز (Overshoot)، زمن الاستقرار (Settling Time)، وزمن النهوض (Rise Time)—إلى مناطق هندسية في مستوى $z$. فهم هذه الخريطة يسمح لك بتوجيه الأقطاب حيث تحقق الاستجابة الزمنية المطلوبة.
- لماذا: يشوّه أخذ العينات الرابط بين نسبة التخميد (Damping Ratio) وموقع القطب؛ التحقق المباشر في مستوى $z$ يحافظ على صدقية التصميم.
- كيف: حوّل مقاييس الزمن المستمر عبر $z = e^{sT}$، ارسم خطوط التخميد والتردد الثابتة، وتحقق من الاستجابات المتقطعة عدديًا.
ابدأ من القطب المستمر $s = -\zeta \omega_n \pm j \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$. القطب المتقطع المقابل هو
$$ z = e^{-\zeta \omega_n T} e^{\pm j\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} T}. $$
حوّل ذلك إلى مهمة عملية: اختر $\zeta$ و$T$ المستهدفين، احسب المقدار $|z| = e^{-\zeta \omega_n T}$ والزاوية $\theta = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2} T$. ضع النقطة على مخطط دائرة الوحدة وتحقق من تحقيق شرط $|z|<1$.
استخدم مساحة العمل التفاعلية:
- ارسم دائرة الوحدة.
- أضف منحنيات التخميد الثابت $|z| = e^{-\zeta \omega_n T}$.
- ضع أشعة التردد الثابت بزاوية $\theta = \omega_d T$.
مهام:
- احسب |z| و θ للقيم المختارة.
- علّق نسبة التجاوز المتقطعة $M_p \approx e^{-\zeta \pi / \sqrt{1-\zeta^2}}$.
- قدّر زمن الاستقرار المتقطع $t_s \approx \frac{T \ln(0.02)}{\ln(|z|)}$.
تحقق من الهندسة بمحاكاة نظام من الدرجة الثانية بأقطاب موضوعة عند $z$ المحسوبة. قس زمن الاستقرار ونسبة التجاوز، ثم قارنها بالتقديرات. سجّل نسبة الخطأ—إذا تجاوزت 10%، عدّل افتراضاتك (مثل الأقطاب غير المسيطرة أو ديناميكيات أعلى رتبة) ودوّن السبب.
أخيرًا، تأمل في الحساسية: حرّك نصف قطر القطب بمقدار $+0.02$ وأعد المحاكاة. ما مقدار تغيّر زمن الاستقرار؟ هذا يخبرك بمدى دقة وضع الأقطاب المطلوب عند تصميم الكسب أو المعوض في الفقرة التالية.