13.7 أخطاء الحالة المستقرة 

يخبرك خطأ الحالة المستقرة ما إذا كانت الحلقة الرقمية تلبي مواصفات الدقة تحت المدخلات الثابتة أو المدخلات على شكل رامب (Ramp). يغير أخذ العينات نوع النظام وسلوك القيمة النهائية، لذا عليك إعادة حساب هذه المقاييس في مجال $z$.

• لماذا: قد تفشل المتحكمات المصممة لزمن مستمر في المحافظة على دقة مماثلة بعد التقطيع، مما يؤدي إلى انحرافات أكبر.
• كيف: طبّق مبرهنة القيمة النهائية المتقطعة، قيّم ثوابت الخطأ، وعدّل $C(z)$ لاستعادة الدقة المطلوبة.

ابدأ من بنية التغذية الراجعة الواحدة (Unity Feedback): $E(z) = \frac{1}{1 + L(z)} R(z)$. خطأ الحالة المستقرة لإشارة مرجعية $r[k]$ هو

$$ e_{\text{ss}} = \lim_{k \to \infty} e[k] = \lim_{z \to 1} (1 - z^{-1})E(z). $$

اعمل على هذه التعليمات:

1. دخـل خطوة (Step Input): احسب $K_p = \lim_{z \to 1} L(z)$. إذا كان $K_p$ محدودًا، فإن $e_{\text{ss}} = \frac{1}{1 + K_p}$. قيّم ذلك لتصميمك الحالي وقارنه بالمطلب.
2. دخـل رامب (Ramp Input): حدد $K_v = \lim_{z \to 1} \frac{(z-1)L(z)}{zT}$. هل يحافظ متحكمك المتقطع على ثابت السرعة (Velocity Constant) في الزمن المستمر؟ إذا لم يفعل، فدوّن العجز.
3. وضع مكامل (Integrator Placement): أضف عامل $\frac{z}{z-1}$ إلى $C(z)$ وأعد حساب $K_p$، $K_v$. هل يبقى التكامل مستقرًا مع أخذ العينات؟

نفّذ هذا الحساب العملي: حاكِ إشارة مرجعية رامب تحت متحكمك الرقمي. سجّل تطور $e[k]$ واحسب متوسطه خلال آخر 20 عينة. هل يطابق $1/K_v$ النظري؟ إذا كان هناك فرق، افحص حدود التكمية (Quantization) أو التشبع (Saturation) في تطبيقك.

استخدم الجدول لتتبع مصادر الخطأ:

التحدي: صمم متحكم PI رقميًا بحيث يحقق $e_{\text{ss}}^{\text{step}} \le 0.02$. اضبط كسب التكامل، تتبع مواقع الأقطاب الناتجة، وتأكد من أن هامش الاستقرارية من الصفحة 13.6 يبقى مقبولًا.