13.6 الاستقرارية 

تتطلب الاستقرارية الرقمية أن يكون كل قطب مغلق الحلقة داخل دائرة الوحدة تمامًا. عليك تحويل حدسك في الزمن المستمر إلى مستوى $z$ ومعرفة كيف يغيّر أخذ العينات الهوامش.

• لماذا: انتهاك شرط $|z|<1$ ينتج متتاليات متباعدة حتى لو بدا المصنع المستمر متزنًا.
• كيف: حدد الأقطاب عبر معادلة المميز (Characteristic Equation)، طبق اختبارات مثل Jury أو التحويل الثنائي، واربط اختيارات أخذ العينات بمواقع الأقطاب.

ابدأ من كثير الحدود المميز $A(z) = z^n + a_1 z^{n-1} + \dots + a_n$. تحدَّ نفسك بهذه المهام:

1. فحص الأقطاب: احسب جذور $T(z)$ مغلق الحلقة عدديًا وارسمها. علّم أي قطب يحقق $|z|\geq 1$ واشرح كيف أدت أخذ العينات أو قيمة الكسب إلى ذلك.
2. اختبار Jury: اكتب جدول Jury لكثير الحدود $A(z)$ وقيّم المتباينات. إذا فشلت واحدة، فسّر أي تعديل في المعاملات (كسب، صفر المعوض) يصلحها.
3. الربط بين $s$ و$z$: استخدم $z = e^{sT}$ لربط قطب مستمر $s = \sigma \pm j\omega$ بموقع متقطع $z = e^{\sigma T} e^{j\omega T}$. حدد أقصى $T$ يبقي $|z| < 1$.

دوّن في دفترك:

مع نسبة تخميد مطلوبة $\zeta = 0.5$ وتردد طبيعي $\omega_n = 4\ \text{rad/s}$، احسب الأقطاب المتقطعة عند $T = 0.05\ \text{s}$. هل تقع داخل دائرة الوحدة؟ ماذا يحدث عندما يتضاعف $T$؟

لرؤية الحدود، ارسم دائرة الوحدة مع أقطابك:

graph TD
    U["Unit circle boundary"]:::circle
    A((z1)):::pole
    B((z2)):::pole
    subgraph "Legend"
        U2["Unit circle"]
        A2["Stable pole"]
        B2["Unstable pole"]
    end
    classDef circle fill:#f0f8ff,stroke:#1f4b99;
    classDef pole fill:#ffcf9f,stroke:#a34719;

استبدل العناصر بأحداثيات حقيقية من نظامك إما بالتعليق اليدوي أو باستخدام البرمجيات. إذا اقترب أي قطب من الدائرة، احسب معدل الاضمحلال المقابل $e^{\sigma T}$ وقرر ما إذا كنت تحتاج إلى هامش أشد.

أخيرًا، نفّذ اختبار مونتي كارلو: زعزع كسب المتحكم بنسبة $\pm 5%$ وأعد حساب مواقع الأقطاب. هل يبقى النظام مستقرًا؟ سجّل أكبر نصف قطر للقطب واحتفظ به كمرجع للمراحل التصميمية المقبلة.