13.4 دوال التحويل 

    بمجرد تحويل الإشارات إلى مجال $z$، تسمح لك دوال التحويل بالتعامل مع الأنظمة الرقمية بسهولة الأنظمة المستمرة نفسها. هدفك هو التعبير عن العلاقة بين متتاليتي الدخل والخرج بصيغة جبرية.

    • لماذا: تكشف دوال التحويل مباشرة عن الأقطاب (Poles) والأصفار (Zeros)، ما يجعل فحص الاستقرارية، خطأ الحالة المستقرة، والاستجابة العابرة واضحًا.
    • كيف: استنتج $H(z) = \frac{Y(z)}{U(z)}$ من معادلات الفروق أو عبر تقطيع المصنع المستمر باستخدام تثبيت من الدرجة الصفرية (Zero-Order Hold).

    اتبع هذه الخطوات على الورق:

    1. ابدأ من معادلة الفرق $a_0 y[k] + a_1 y[k-1] + \dots = b_0 u[k] + b_1 u[k-1] + \dots$.
    2. خذ تحويل $z$، طبق خواص الإزاحة الزمنية، واعزل $Y(z)$ و$U(z)$.
    3. فكك كثيري الحدود لتحصل على $$ H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \dots + b_m z^{-m}}{a_0 + a_1 z^{-1} + \dots + a_n z^{-n}}. $$

    كرر العملية باستخدام نمذجة البيانات المأخوذة عينات: لمصنع مستمر $G(s)$ وفترة أخذ عينات $T$، احسب $G(z) = \mathcal{Z}{g(kT)}$ حيث $g(t)$ هو استجابة النبضة لـ $G(s)$ بعد مروره عبر التثبيت. جرّب ذلك للمصنع $G(s) = \frac{1}{s(s+2)}$ مع $T = 0.1\ \text{s}$. قارن طريقتين:

    • التقطيع المباشر باستخدام التثبيت من الدرجة الصفرية (MATLAB c2d(G,T,'zoh') أو التكامل اليدوي).
    • تقريب التحويل الثنائي (Bilinear Transform) $s = \frac{2}{T}\frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}$.

    هل تشترك النتائج في نفس مواقع الأقطاب؟ أبرز الفروقات وحدد أي تقريب يحافظ على عرض الحزمة المطلوب.

    لتثبيت سير العمل، نفّذ هذا المختبر الصغير:

    الخطوة 1: قطّع مصنعًا من اختيارك عند معدلي أخذ عينات مختلفين.

    الخطوة 2: عدّد معاملات البسط والمقام لكل $H(z)$.

    الخطوة 3: ارسم مخططات الأقطاب والأصفار وعلّق كيف تتحرك الأقطاب مع تغيّر T.

    بنهاية التمرين، يجب أن تتمكن من النظر إلى $H(z)$ وتحديد كيف غيّر التأخير الحسابي، أخذ العينات، أو تصميم المعوض خصائص النظام—والأهم، كيف يمكنك ضبطها لاحقًا.