13.3 تحويل z 

    تحويل $z$ هو الجسر الذي ينقلك من الإشارات المأخوذة عينات إلى التلاعب الجبري. من دونه ستبقى عالقًا في حل معادلات الفروق يدويًا؛ ومعه تستعيد ذاكرة تحويل لابلاس ولكن للتحكم الرقمي.

    • لماذا: الالتفاف (Convolution)، الاستقرارية، وتحليل الاستجابة تصبح مسائل جبرية عندما تُحوَّل المتتالية إلى مجال $z$.
    • كيف: عرّف $X(z) = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] z^{-k}$، تعلم الأزواج الأساسية، وتدرب على التحويل العكسي باستخدام الكسور الجزئية أو متسلسلات القوى.

    أعد اشتقاق التعريف الأساسي في دفترك:

    $$ X(z) = \mathcal{Z}{x[k]} = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] z^{-k}, \quad z = re^{j\omega T}. $$

    ثم أجب عن هذه التعليمات الموجهة:

    1. منطقة التقارب (Region of Convergence): اختر $x[k] = (0.8)^k u[k]$. حدد منطقة التقارب وارسم الحلقة في مستوي $z$. كيف يفرض القطب عند $z = 0.8$ شرط $|z| > 0.8$؟
    2. الإزاحة الزمنية (Time Shifting): تحقق من أن $\mathcal{Z}{x[k-n]} = z^{-n} X(z)$. طبّقها لتنفيذ تأخير داخل معادلة فرق تستخدمها بالفعل.
    3. الارتباط مع لابلاس (Laplace): احسب تحويل $z$ للإشارة المأخوذة عينات $x[k] = e^{-\alpha kT}$. أظهر أن تعويض $z = e^{sT}$ يعيدك إلى تحويل لابلاس عندما $T \to 0$.

    نفّذ هذا التدريب السريع: حوّل معادلة الفروق $y[k] - 1.3y[k-1] + 0.4y[k-2] = 0.5u[k]$ إلى $Y(z)$ و$U(z)$. استخرج $H(z) = \frac{Y(z)}{U(z)}$، ثم خذ تحويل $z$ العكسي للتحقق من استجابة النبضة (Impulse Response). ظلّل الخطوة التي وفر فيها التحويل أكبر قدر من الجهد—هذا يخبرك أين تعتمد على التحويل في المسائل المقبلة.

    أخيرًا، درّب نفسك على مبرهنة القيمة النهائية (Final-Value Theorem). احسب

    $$ \lim_{k \to \infty} y[k] = \lim_{z \to 1} (z-1)Y(z) $$

    لإشارة مغلقة حلقة صممتها سابقًا. هل تطابق القيمة النهائية المحاكاة؟ إذا لم يحدث، افحص أي قطب خالف افتراضات منطقة التقارب وسجّل طريقة الإصلاح.