13.2 نمذجة الحاسوب الرقمي 

لا يمكنك تصميم متحكم رقمي حتى تملك نموذجًا دقيقًا لكيفية إعادة تشكيل جهاز أخذ العينات (Sampler)، الحوسبة (Computation)، ووحدة التثبيت (Hold) للإشارات. تمنحك هذه الفقرة القدرة على استبدال الكتلة الغامضة المسماة "حاسوب" بدوال تحويل (Transfer Functions) وتأخيرات يمكنك تحليلها.

لماذا: يضيف أخذ العينات، التثبيت، والتأخير الناتج عن الحوسبة طورًا سالبًا يقلل عرض الحزمة والاحتياطي من الاستقرارية.
كيف: مثل المتحكم الرقمي كنظام زمني متقطع $C(z)$، ضمّن عناصر أخذ العينات والتثبيت، واحسب تأخيرات النقل (Transport Delays) الناتجة عن الحوسبة.

ابدأ بالعناصر الأساسية:

أخذ العينات (Sampler): عبّر عن عملية أخذ العينات بصيغة $x[k] = x(kT)$. دوّن كيف يفرض واجه الحساسات ذلك، بما في ذلك أي مرشح قبل أخذ العينات (Anti-Alias Filter).
التثبيت من الدرجة الصفرية (Zero-Order Hold): نمذج التثبيت عند المشغل بواسطة $G_{\text{ZOH}}(s) = \frac{1 - e^{-sT}}{s}$. احسب مطال القناة (Magnitude) والطور عند تردد العبور لتعرف الكلفة.
تأخير الحوسبة: إذا كان الكود يحتاج فترة أخذ عينات واحدة لحساب $u[k]$، فمثل ذلك بضرب المتحكم الرقمي في $z^{-1}$.

تحقق من فهمك ببناء مخطط توقيت. استخدم مخطط Mermaid أدناه كقالب وخصصه لمشروعك:

sequenceDiagram
    participant Sensor
    participant Sampler
    participant CPU
    participant Actuator
    participant Plant
    Sensor->>Sampler: continuous signal
    Sampler->>CPU: x["k"] at t = kT
    CPU-->>CPU: execute control law (Δt_exec)
    CPU->>Actuator: u["k"] delivered before (k+1)T
    Actuator-->>Plant: holds u["k"] for T seconds

نفّذ هذا التمرين: لمصنعك $G(s)$ وفترة أخذ العينات $T$ المختارة، احسب المصنع المتقطع المكافئ $G(z)$ باستخدام تثبيت من الدرجة الصفرية. ثم أضِف تأخير خطوة واحدة $z^{-1}$ لمحاكاة زمن التنفيذ. ارسم مخطط بودي (Bode Plot) للحلقة المفتوحة وحدد مقدار الطور الإضافي عند تردد العبور. هل يتحمله التصميم؟ إذا لم يكن كذلك، اذكر خيارين (تصغير $T$ أو تحسين مسار الكود) وحدد الأنسب للأجهزة لديك.