13.10 تعويض متسلسل عبر مستوى s 

أحيانًا يكون أسرع طريق إلى معوض رقمي هو التصميم في مستوى $s$ المستمر، حيث تتوفر الحدوس والقوالب بكثرة، ثم تحويل النتيجة إلى الزمن المتقطع. تعلمك هذه الفقرة القيام بذلك دون فقد السيطرة على الأداء.

لماذا: قواعد تصميم التعويض المتقدم (Lead) والمتأخر (Lag) وقوالب بودي ناضجة في مجال $s$؛ استثمارها يسرع العمل عندما يكون أخذ العينات سريعًا مقارنة بالديناميكيات.
كيف: صمم معوضًا مستمرًا $C(s)$، قطّعه بطريقة مناسبة (مثل Tustin أو المطابقة مأخذ القطب-الصفر Matched Pole-Zero أو التثبيت من الدرجة الصفرية)، وتحقق من $C(z)$ الناتج.

اتبع هذه الخطوات:

حدد الأهداف في مستوى $s$: تردد العبور المطلوب، هامش الطور، وخطأ الحالة المستقرة.
صمم $C(s)$ باستخدام الأدوات المألوفة (مثل إضافة شبكة Lead لزيادة الطور).
اختر طريقة التقطيع:
- تحويل Tustin (Bilinear) مع تصحيح التردد (Pre-Warping): $s = \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}$.

مطابقة القطب-الصفر: الحفاظ على مواقع الأقطاب والأصفار عبر $z = e^{sT}$.

ولد $C(z)$ وبسطه إلى دالة نسبية في $z^{-1}$.

أكمل هذا التمرين: صمم معوض Lead مستمرًا $C(s) = K \frac{s + 4}{s + 20}$ لتحقيق هامش طور معين. قطّعه باستخدام Tustin عند $T = 0.05\ \text{s}$ (مع تصحيح التردد عند تردد العبور المستهدف)، ثم احسب $C(z)$ الناتج. قارن استجابة التردد لـ $L(s)$ و$L(z)$ عند تقييمهما على المحور التخيلي ودائرة الوحدة على التوالي. ما مدى تقارب الكسب والطور حول تردد العبور؟ إذا تجاوز الفرق حدك المقبول، عدل فترة أخذ العينات أو بدّل طريقة التقطيع.

استخدم قائمة التحقق لتبرير قراراتك:

القرار	لماذا يهم	كيف نفذته
فترة أخذ العينات T	تتحكم بدقة التقطيع	تحققت من أن $\omega_c T \ll 1$ قبل الوثوق بتصميم s.
طريقة التقطيع	تؤثر على الحفاظ على الطور المتقدم/المتأخر	طبقت Tustin مع تصحيح التردد عند $\omega_c$.
ضبط الكسب	يطابق تردد العبور المتقطع مع المواصفة	أعَدت حساب $K$ بعد التقطيع للوصول إلى $M_p$ المطلوب.

اختم بالتحقق بالمحاكاة: شغّل استجابات زمنية لكل من النموذج المستمر والنموذج الرقمي. دوّن أي انحراف في الأداء (مثل زيادة التجاوز) واذكر كيف ستعالجه—ربما عبر ضبط $K$ أو إضافة Lag رقمي صغير.