12.8 تصميم خطأ الحالة المستقرة باستخدام التحكّم التكاملي 

حتى مع أقطاب مثالية، يمكن أن تترك الاضطرابات أو خطوات المرجع انحيازاً ثابتاً. أضف حالة تكاملية لإزالة خطأ الحالة المستقرة بشكل مقصود.

ابدأ بنباتك الاسمي $ \dot{x} = Ax + Bu $، $y = Cx$. أضف حالة تكامل $z$ تجمع الخطأ $e = r - y$: $$ \dot{z} = r - y = r - Cx. $$ وسع متحكّمك لاستخدام الحالة الموسعة $x_a = \begin{bmatrix} x \ z \end{bmatrix}$: $$ u = -\begin{bmatrix} K & K_i \end{bmatrix} x_a. $$

اعمل من خلال قائمة الخطوات التالية على نموذج حقيقي:

توسيع المصفوفات: اكتب ديناميكيات الحالة الموسعة $ \dot{x}_a = \begin{bmatrix} A & 0 \ -C & 0 \end{bmatrix} x_a + \begin{bmatrix} B \ 0 \end{bmatrix} u + \begin{bmatrix} 0 \ I \end{bmatrix} r $.
فحص إمكانية التحكّم: احسب مصفوفة التحكّم لـ $(A_a, B_a)$. هل انخفضت الرتبة؟ إن حدث، توقع مشكلة في مواضع الحساسات أو خطر التراكم الزائد (Windup).
اختيار مواقع الأقطاب: حدّد سرعة استقرار ديناميكيات التكامل مقارنة بالأقطاب الأصلية (غالباً أبطأ قليلاً لتفادي التجاوز). وثّق مجموعة الأقطاب المختارة.
تصميم المكاسب: احسب $[K ; K_i]$ باستخدام تحديد الأقطاب أو LQR للنظام الموسع. خزّن القيم الرقمية والسكربت المستخدم.
استراتيجية مضاد التراكم (Anti-Windup): إذا كانت حدود المشغّل مهمة، حدّد آلية مضاد التراكم (مثل التكامل الشرطي أو الارتداد). نفّذها إن أمكن.

قِس الفائدة بمحاكاة المتحكّم الأصلي والموسع تحت خطوة وحدة واضطراب ثابت $d$. سجّل ثلاثة أرقام في دفتر المختبر:

خطأ الخرج في الحالة المستقرة (يجب أن يصل للصفر مع التكامل).
نسبة التجاوز القصوى.
أقصى مجهود تحكّم.

ارسم إشارات الخطأ على نفس المحور وعلّق لحظة اختفاء الانحياز بفعل المتكامل.

sequenceDiagram
    participant r as "Reference r"
    participant z as "Integrator z"
    participant u as "Control u"
    participant y as "Output y"
    r->>z: تجميع e = r - y
    z->>u: إضافة -K_i z إلى التحكّم
    u->>y: قيادة استجابة النبات
    y->>z: تغذية راجعة بالقياس y

قبل أن تنهي، اختبر التصميم تحت دخل منحدر $r(t) = 0.5t$ ولاحظ هل يبقى الخطأ محدوداً. إذا لم يحدث، سجّل القصور (ربما الحاجة لتكامل مزدوج) ودوّن تذكيراً للعودة إلى تحكّم تكاملي أعلى رتبة.