12.5 تصميم المراقب (Observer Design)
نادراً ما تمنحك الحساسات كل الحالات، لذا تعيد بناء الديناميكيات غير المرئية. ابدأ بكتابة مراقب Luenberger الذي ستنفذه:
$$ \dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x}) $$
اعمل على هذه المطالب مستخدماً أحد المتحكّمات الحالية لديك:
- ديناميكيات الخطأ (Error Dynamics): استنتج $ \dot{e} = (A - LC)e $. ما الأقطاب التي تجعل التقدير سريعاً بما يكفي دون تضخيم ضجيج الحساس؟ اكتب كثير الحدود المرغوب واحتفظ به بجانب أقطاب متحكّمك للمقارنة.
- اختيار الأساس (Basis Choice): إذا كان نظامك في الصورة القياسية للمراقب (Observer Canonical Form)، يمكنك وضع الأقطاب مباشرة. وإن لم يكن، حدّد تحويل التشابه $T_o$ الذي يكشف البنية القياسية. ما رقم شرط (Condition Number) هذا التحويل؟
- قيود الحساس: ما عرض الحزمة (Bandwidth) وحد الضجيج في حساساتك؟ استخدم هذه المعلومات لتحديد أقصى سرعة لأقطاب المراقب (عادة 3–5 أضعاف أقطاب المتحكّم). سجّل الحد وسبب اختياره.
أنشئ مختبراً مصغراً في دفترك: حاكِ المراقب مع انقطاع قياس مفرد مدته $0.1\ \text{s}$. أجب عن الأسئلة:
- كم يكبر معيار $ |e(t)| $ أثناء الانقطاع؟
- هل يتعافى المراقب بدون تجاوز أكبر من 20%؟ إذا لم يحدث، غيّر أبطأ قطب وكرر.
كوّن الجدول التشخيصي التالي لتنظيم النتائج:
| الكمية | الصيغة / الوصف | القيمة التي حصلت عليها |
|---|---|---|
| كثير حدود المراقب | $ s^n + \alpha_{n-1}s^{n-1} + \dots + \alpha_0 $ | |
| مكسب المراقب | $ L = T_o^{-1}\begin{bmatrix} \alpha_0 \ \alpha_1 \ \vdots \ \alpha_{n-1} \end{bmatrix} $ (للصيغة القياسية) | |
| مكسب الضجيج | $ |LC|_2 $ | |
| زمن استقرار الخطأ | من محاكاة $ e(t) $ |
أخيراً، نفّذ فحصاً مضاداً سريعاً: ضع أقطاب المراقب عند ضعف أقطاب المتحكّم وقارن $L$ الناتج مع القيمة المصممة. أيٌّ منهما يعطي خطأ تقدير حالة مستقرة أصغر عند وجود انحياز قياس بنسبة 5%؟ سجّل الخلاصة قبل الانتقال إلى الرصدية (Observability).