12.3 إمكانية التحكُّم (Controllability) 

تحديد الأقطاب يعمل فقط إذا كنت قادراً فعلياً على تحريكها. إمكانية التحكّم تقيس هذا النفوذ. حافظ على طرح هذه الأسئلة أثناء فحص نموذجك:

1. هل يمكنني الوصول لأي حالة؟ احسب $ \mathcal{C} = [B\ AB\ \cdots\ A^{n-1}B] $. إذا كان الرُتبة (Rank) مساوية لـ $n$، يمكنك توجيه $x$ إلى أي مكان. إن لم يكن كذلك، أبرز الحالات العالقة—أي عنصر فيزيائي غير قابل للتأثير؟
2. كيف يؤثر الزمن المتقطع على إمكانية الوصول؟ في التصميم المتقطع $x_{k+1} = A_d x_k + B_d u_k$، أعد حساب مصفوفة التحكّم. هل تفقد الرُتبة مع تغيّر زمن العينة؟
3. هل هناك جهاز إحداثيات أذكى؟ أحياناً يجعل $A$ غير المعاير إمكانية التحكّم مخفية. جرّب الصورة القياسية المتحكَّم فيها وراقب كيف توضّح البنية تفاعل المُدخلات مع الديناميكيات.

حوِّل الاختبارات القياسية إلى روتين تشخيصي عملي:

• قيّم $ \det(sI - A) $ وحدد الأقطاب المكررة. لكل قطب مكرر، تحقق ما إذا كانت مصفوفة التحكّم تمتلك سلاسل جوردان مقابلة.
• افحص مسارات الطاقة. اختر حالة $x_i$ واكتب أقصر حاصل ضرب $A^kB$ يقدّم تأثيراً غير صفري على هذا العنصر. إذا لم يوجد، ضع علامة "غير قابل للتحكّم" على سهمك في مخطط الكتلة.
• جرّب عدديّاً: اختر حالات ابتدائية عشوائية وشغّل مسألة تحكّم أمثل $ \min \int_0^{T} u^\top u, dt $ مع الوصول إلى $x(T) = 0$. إذا فشل المحسّن، أرجع السبب إلى رتبة $ \mathcal{C} $.

أضف سكربتاً سريعاً يطبع القيم المفردة (Singular Values) لمصفوفة $ \mathcal{C} $. تشتت كبير يعني مشكلة تكيّف—سجّل أصغر قيمة مفردة وحدد عتبة دنيا تعيد عندها تصميم الحساسات أو المشغّلات.

flowchart TD
    A["ابدأ بـ (A,B)"] --> B["حساب مصفوفة التحكّم"]
    B --> C{"هل الرتبة = n؟"}
    C -->|"لا"| D["تحديد الحالات غير القابلة للتحكّم \n عبر نواتج C"]
    D --> E["تعديل العتاد أو النموذج"]
    C -->|"نعم"| F["الانتقال إلى تحديد الأقطاب"]
    F --> G["اختبار التكيّف العددي \n بالقيم المفردة"]
    G --> H{"هل رقم الشرط مقبول؟"}
    H -->|"لا"| I["إعادة مقياس الحالات / تغيير الأساس"]
    H -->|"نعم"| J["تثبيت تصميم المتحكّم"]

نفّذ هذا المسار على نموذج حقيقي اليوم. وثّق الرتبة، والتكيّف، وأي إجراء تصحيحي اتخذته. هذا التوثيق سيطلبه مراجعك عند اعتماد المتحكّم.