12.2 تصميم المتحكّم
هدفك هو جعل متجه الحالة يلتزم بمواصفات الاستجابة العابرة، وليس ميل النبات الطبيعي. التغذية الراجعة للحالة (State Feedback) تمنحك مقابض الضبط. ابدأ بكتابة فرضية المتحكّم صراحة:
$$ u(t) = -Kx(t) + r(t) $$
تحدَّ نفسك عبر هذه النقاط، ودوّن الإجابات في نموذجك:
- احسب مصفوفة الحلقة المغلقة $A_\text{cl} = A - BK$. أي القيم الذاتية يجب أن تتحرك، وبمقدار كم، لتلبية متطلبات زمن النهوض أو نسبة التخميد؟
- قرر كيفية موازنة الإشارة المرجعية. هل ستستخدم مُرشّحاً مرجعياً $N_r$ بحيث يتطابق $x_\infty$ مع الحالة المطلوبة؟
- تحقق من حدود المشغّل (Actuator). هل أكبر عنصر في $K$ يفرض جهداً أو عزماً يتجاوز قدراتك؟
كوّن ورقة عمل لتحديد الأقطاب باستخدام نموذج واحد من نباتاتك. املأ جميع الخانات قبل الانتقال:
| الخطوة | ما يجب كتابته | إدخالك |
|---|---|---|
| 1 | كثير الحدود المطلوب $p_d(s) = s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0$ | |
| 2 | مصفوفة التحكّم $ \mathcal{C} = [B ; AB ; \cdots ; A^{n-1}B] $ | |
| 3 | التحويل إلى الصورة القياسية المتحكَّم فيها (Controllable Canonical Form) إن لزم $T_c$ | |
| 4 | مكسب التغذية الخلفية Ackermann أو مقارنة مباشرة $K = [0,\cdots,0,1]\mathcal{C}^{-1}p_d(A)$ | |
| 5 | مكسب المرجع $N_r$ من تحليل الحالة المستقرة |
وأنت تحسب، احتفظ بعمود منفصل بعنوان المخاطر (Risk). لكل صف أعلاه، حدد احتمال الفشل (سوء تكيّف رقمي، تشبّع المشغّل، حالات مفقودة). هذه العادة تجبرك على وضع خطوات تلطيف (مثل إعادة مقياس الحالات أو تفعيل مضاد التراكم Anti-Windup).
لاختبار التصميم سريعاً، حاكي الاستجابة المتجانسة مع شرط ابتدائي $x(0)$ كيفما كان. تتبع معيارين:
- الزمن اللازم لـ $|x(t)|$ كي ينخفض إلى أقل من 5% من $|x(0)|$.
- ذروة مجهود التحكّم $u_\text{max} = \max_t |Kx(t)|$.
إذا لم تستطع فحص كليهما في تشغيل سكربت واحد، توقف وقم بأتمتته قبل التقدم. سكربت فعال لهذين الرقمين هو شبكة الأمان لبقية الفصل.