12.1 مقدمة
قبل أن تبدأ في التعامل مع المصفوفات، خذ لحظة لتوضح لماذا يهم تصميم فضاء الحالة (State-Space Design). الأدوات الكلاسيكية تمنحك مكاسب (Gains) لمُدخل واحد ومُخرج واحد، بينما الوصف بالمتجهات يعطيك رؤية كاملة لكيفية انتقال الطاقة الداخلية وكيف يمكنك تشكيلها. احتفظ بهذه الأسئلة وأجب عنها في دفترك:
- رؤية الحالة (State Visibility): ضع قائمة بالحالات الفيزيائية في نموذجك. أيٌّ منها يحل مشكلة هندسية عندما تضبطه مباشرة؟
- مرونة التصميم (Design Flexibility): قارن بين عدد درجات الحرية في أقطاب الحلقة المغلقة وبين مكسب دالة التحويل الوحيد. أين يظهر هذا الفراغ الإضافي في متطلبات مشروعك؟
- الجاهزية الرقمية (Digital Readiness): التنفيذ لديك برمجي. كيف تُحوِّل النسخة المتقطعة من $ \dot{x} = Ax + Bu $ إلى حلقة التحديث التي ستنشرها؟
لربط الـ"لماذا" مع الـ"كيف"، ارسم مسار التصميم التالي واملأ الفراغات بأدواتك أو سكرباتك الخاصة:
flowchart LR
A["تحديد الحالات والمُدخلات"] --> B["كتابة النموذج \n dx/dt = Ax + Bu"]
B --> C["تحديد أهداف الأداء \n (زمن الاستقرار، التجاوز، الخطأ)"]
C --> D["فحص التحكُّم (Controllability) والرصدية (Observability)"]
D --> E["اختيار بنية المتحكِّم/المراقب"]
E --> F["التنفيذ والمحاكاة في الزمن"]
F --> G{"هل المواصفات محققة؟"}
G -->|"لا"| C
G -->|"نعم"| H["الانتقال إلى التطبيق بثقة"]
لكل مواصفة مفتوحة لديك، اكتبها بجوار العنصر المصفوفي الذي يؤثر فيها:
| المواصفة التي تهمك | أداة فضاء الحالة |
|---|---|
| خطأ الحالة المستقرة في السرعة | القيم الذاتية لـ $A - BK$ واختيار حالات تكاملية |
| موضع الحساسات | مصفوفة الرصدية $ \mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \ CA \ \vdots \ CA^{n-1} \end{bmatrix} $ |
| تخفيف الضجيج | مكسب المراقب $L$ الذي يشكّل $A - LC$ |
أخيراً، اختر نباتاً (Plant) واحداً من قائمة عملك وقم بالتشخيص السريع: احسب $A, B, C, D$ (يمكن أن تبقيها رمزية)، وقيِّس الزمن اللازم لمحاكاة $ \dot{x} = Ax + Bu $ مع دخل خطوة وحدة. إذا استغرق الأمر أكثر من دقيقتين، قم بأتمتة العملية الآن؛ ستكرر هذا الاختبار كثيراً في بقية هذا الفصل.