10.9 العلاقة بين الاستجابتين الترددّيتين للحلقتين المفتوحة والمغلقة 

عندما تصمم في مجال التردد، تبدّل تركيزك بين دالة الانتقال المفتوحة $L(j\omega)$ والاستجابة المغلقة $T(j\omega)$. فهم الرابط الجبري بينهما يسمح لك بالتنبؤ بسلوك الحلقة المغلقة فور تعديل المتحكم.

احتفظ بالهوية الأساسية أمامك: $$ T(j\omega) = \frac{L(j\omega)}{1 + L(j\omega)}, \qquad S(j\omega) = \frac{1}{1 + L(j\omega)}. $$ هنا $S(j\omega)$ هي دالة الحساسية (Sensitivity) التي تقيس رفض الاضطراب.

درّب نفسك بهذا التمرين ثلاثي الخطوات لكل متحكم جديد:

1. احسب $L(j\omega)$ على شبكة خشنة. استخدم توزيعاً لوغاريتمياً للترددات. لكل تردد، دوّن المطال $M_L = |L|$ والطور $\phi_L = \angle L$. اسأل: في أي الترددات يكون $|L| > 1\؟ تلك هي المناطق التي يميل فيها المطال المغلق إلى اتباع المفتوح.
2. حوّل سريعاً إلى $T(j\omega)$. طبّق الهوية أعلاه لكل نقطة. انتبه: عندما $|L| \gg 1$، يصبح $T \approx 1$؛ وعندما $|L| \ll 1$، يصبح $T \approx L$. ضع دوائر حول نقاط الانتقال وعلّق لماذا هي مهمة (غالباً قرب عرض الحزمة).
3. فسر الحساسية. قيم مرتفعة لـ $|S|$ تعني ضعف رفض الاضطراب؛ قيم مرتفعة لـ $|T|$ تعني تضخيم الضوضاء. ظلل نطاق التردد الذي يبقي كلتيهما تحت 0 dB وتأكد أنه يلائم أهداف الأداء.

لتصوير التفاعل، ارسم المخطط التالي:

graph TD
    L["L(jω)"] -->|"قسّم على 1+L"| T["T(jω)"]
    L -->|"كوّن 1/(1+L)"| S["S(jω)"]
    T -->|"مطال مرتفع؟"| الاستجابة
    S -->|"مطال مرتفع؟"| الاضطراب

تدرّب باستخدام $L(s) = \frac{20(s+5)}{s(s+2)(s+10)}$. احسب $|L|$ عند $0.5, 2, 20\ \text{rad/s}$، ثم حوّل إلى $|T|$ و$|S|$. اشرح لنفسك كيف يحرك زيادة كسب المتحكم نقطة العبور حيث ينتقل $T$ من القرب من الواحد إلى التوهين. هذا الربط المستمر بين “لماذا” (التنبؤ بالسلوك المغلق) و“كيف” (معالجة $L$ جبرياً) يجعل الأداة فعّالة.