10.8 العلاقة بين الاستجابة العابرة للحلقة المغلقة والاستجابة الترددية للحلقة المغلقة 

نادراً ما تصمم في مجال التردد فقط؛ فالعملاء يهتمون بزمن الاستقرار (Settling Time) والتجاوز (Overshoot) وعرض الحزمة (Bandwidth). يربط هذا القسم بين النظرتين لكي تتنبأ بإحداهما من الأخرى دون إعادة حل المعادلات التفاضلية بالكامل.

ثبّت تفكيرك بنموذج الدرجة الثانية المسيطر $$ T(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}. $$ من الاستجابة الزمنية عادة ما تعرف:

• نسبة التجاوز: $M_p = e^{\left(-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)}$.
• زمن الاستقرار (معيار 2%): $T_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$.
• زمن الذروة: $T_p = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}}$.

ثلاثة أنشطة تفاعلية تربط هذه بالاستجابة الترددية:

1. قدّر عرض الحزمة. للنظم ذات التخميد المعتدل ($0.3 < \zeta < 0.7$) يقع عرض الحزمة $\omega_b$ بالقرب من $\omega_n \sqrt{1 - 2\zeta^2 + \sqrt{2 - 4\zeta^2 + 2\zeta^4}}$. أدخل قيمة $\zeta$ الناتجة عن التجاوز وتحقق مما إذا كان $|T(j\omega_b)| \approx -3\ \text{dB}$. إن لم يحدث، فسر سبب انحراف نظامك (أصفار إضافية؟ تأثيرات رتبة أعلى؟).
2. تنبأ بذروة الرنين. احسب $M_r = |T(j\omega_r)|$، حيث $\omega_r = \omega_n \sqrt{1 - 2\zeta^2}$ عندما $\zeta < \frac{1}{\sqrt{2}}$. قارِن $M_r$ بتجاوز الزمن؛ اسأل نفسك: هل تبالغ الذروة الترددية في تقدير التجاوز الزمني بسبب أصفار لم تؤخذ بالحسبان؟
3. تحقق بالبيانات. إذا كان لديك استجابة خطوة، استخرج $T_s$ و$M_p$. استخدم العلاقات السابقة لاستخراج $\zeta$ و$\omega_n$، ثم تنبأ بـ $\omega_b$ و$M_r$. ضع هذه التوقعات على منحنى $ |T(j\omega)| $ الحقيقي وعلّق على أي اختلافات.

دوّن عبارة “عرض الحزمة يتحكم في زمن النهوض؛ الذروة الترددية تتنبأ بالتجاوز” في دفترك. في كل مرة توائم الرسوم الترددية مع القياسات الزمنية، عد إلى العبارة وتأكد أن التصميم يحقق المتطلبات في كلا المجالين. إن لم يفعل، حدد أي معيار أهم لتطبيقك وخطط خطوة التعويض في الأقسام التالية.