10.7 الاستقرار وهوامش الكسب والطور عبر مخططات بودي
تحول مخططات بودي (Bode Plots) تقييم الهوامش إلى تمرين مسطرة مستقيمة. هي لا غنى عنها عندما تحتاج إلى تكرار التصميم بسرعة أو شرح المتانة لغير المتخصصين باستخدام محاور مألوفة.
استخدم هذا الشرح المعلق في كل مرة تتعامل فيها مع مخطط بودي:
- ضع علامة على تردد عبور الكسب $\omega_{gc}$ حيث يقطع منحنى المطال محور $0\ \text{dB}$. اقرأ الطور عند هذا التردد. هامش الطور هو $$ \text{PM} = 180^\circ + \phi(\omega_{gc}). $$ وضّح لفظياً لماذا يجعل الطور الأكثر سلبية عند $\omega_{gc}$ هامشك أصغر ضد التذبذب.
- ضع علامة على تردد عبور الطور $\omega_{pc}$ حيث يصل الطور إلى $-180^\circ$. اقرأ المطال هناك: $GM = -M(\omega_{pc})\ \text{dB}$. حوّله إلى مقياس خطي عند الحاجة: $GM_{\text{lin}} = 10^{-M(\omega_{pc})/20}$.
- افحص الميل بالقرب من العبورين. الميل الحاد يشير إلى تخميد منخفض؛ الميل اللطيف يعني عادة استجابة أكثر سلاسة. دوّن ملاحظاتك وتنبأ بتجاوز استجابة الخطوة قبل إجراء المحاكاة.
احتفظ بهذا الجدول كقاعدة سريعة لربط “السبب” بـ “الخطوة التالية”:
| قراءة الهامش | التفسير | إجراء التصميم |
|---|---|---|
| $\text{PM} < 30^\circ$ | توقع تجاوز كبير واستقرار هش | أضف تعويض Lead أو خفّض عرض الحزمة. |
| $GM < 6\ \text{dB}$ | أخطاء النمذجة قد تزعزع الاستقرار | زد اللف السفلي للتردد أو أعد تصميم المتحكم. |
| $\omega_{gc}$ مرتفع جداً | خطر تضخيم الضوضاء | أدخل مرشحاً منخفض التمرير أو قلل رتبة المتحكم. |
كتدريب، ارسم مخطط بودي لـ $L(s) = \frac{100}{s(s+2)(s+10)}$. ضع دائرة حول $\omega_{gc}$، و$\omega_{pc}$، والميل عندهما، واكتب جملة تربط الميل بالتخميد المتوقع في الاستجابة الزمنية. شارك الرسم مع زميل واطلب منه استنتاج الهوامش نفسها—ممارسة التواصل تعزز سبب قوة هذه الرسوم في العمل الجماعي.