10.6 هامش الكسب وهامش الطور عبر مخطط نيكويست 

يكشف مخطط نيكويست (Nyquist Plot) هوامش الاستقرار هندسياً. تحتاج هذه الهوامش لتقييم مدى تحمل الحلقة لعدم اليقين قبل الانزلاق نحو عدم الاستقرار.

اتبع هذه العملية التفاعلية على مخططك:

حدد تردد عبور الطور حيث يقطع المسار المحور الحقيقي السالب ($\angle L(j\omega_{pc}) = -180^\circ$). قس المسافة إلى $-1$. هامش الكسب هو $GM = \frac{1}{|L(j\omega_{pc})|}$. اسأل نفسك: إذا ضاعفت كسب الحلقة بهذا المقدار، هل سيلمس المسار نقطة $-1\؟
حدد تردد عبور الكسب حيث $|L(j\omega_{gc})| = 1$. قس الفارق الزاوي عن المحور الحقيقي السالب: $\text{PM} = 180^\circ + \angle L(j\omega_{gc})$. اشرح كيف تمثل هذه الزاوية مقدار الطور الإضافي الذي يمكنك تحمله قبل الوصول إلى $-1$.
وثّق المتانة. اكتب تقريراً صغيراً يحوي الهوامش وجملة إجراء (“التعويض lead الحالي يمنح $45^\circ$ هامش طور؛ مناسب لمتطلب تجاوز الذروة”).

لإبقاء الصورة واضحة، ارسم هذا المخطط القطبي المصغر للمنطقة الحرجة:

graph LR
    A["-1"] --- B["عند ω_gc"]
    A --- C["عند ω_pc"]
    B:::gainMarginStyle
    C:::phaseMarginStyle

    classDef gainMarginStyle fill:#eef,stroke:#00f,stroke-width:2px;
    classDef phaseMarginStyle fill:#efe,stroke:#0a0,stroke-width:2px;

تدرّب باستخدام $L(s) = \frac{50(s+1)}{s(s+5)(s+10)}$. استخدم أداة برمجية لرسم مخطط نيكويست، ثم اقرأ $GM$ و$PM$. تحقق من قراءاتك بحساب القيم المعقدة مباشرة. في النهاية، اسأل نفسك عن حدود التصنيع أو أخطاء النمذجة التي تسمح بها هذه الهوامش. تعويدك على تحويل الأرقام إلى مخاطرة هندسية هو سبب حساب الهوامش أصلاً.