10.2 التقريبات التقاربية: مخططات بودي 

تستبدل مخططات بودي التقاربية (Asymptotic Bode Plots) الدقة بالسرعة، ومع ذلك تحدد الاتجاهات التي تغذي الحدس التصميمي. ستحتاجها كلما أردت تقدير هوامش الكسب والطور على الورق، أو مناقشة شكل المتحكم، أو إقناع فريقك قبل تنفيذ محاكاة مكثفة.

اتبع هذه الجولة ذات المراحل الثلاث لأي دالة انتقال $G(s)$:

1. حلل وحدد التعليقات. اكتب $G(s) = K \frac{\prod (1 + s/z_i)}{\prod (1 + s/p_i)} s^{n_z - n_p}$. علّم كل تردد زاوي $\omega_c = |z_i|$ أو $|p_i|$. اسأل نفسك: هل يميل كل حد إلى رفع الميل أو خفضه بعد $\omega_c\؟
2. ارسم هيكل المطال. ابدأ المطال عند الترددات المنخفضة باستخدام $20\log_{10} K$ (تشمل الميل الناتج عن التكاملات أو التفاضلات). زد الميل بمقدار $+20\ \text{dB/dec}$ عندما تمر عند صفر، وأنقصه بمقدار $20\ \text{dB/dec}$ عندما تمر عند قطب. أثناء الرسم، احك القصة الفيزيائية: “هذا القطب يمثل تراخي المشغل؛ لذلك ينخفض الميل.”
3. أضف طوراً تقريبياً. لكل قطب أو صفر، ارسم مساهمة الطور التي تتغير على عقدتين حول $\omega_c$. استخدم الصيغ القياسية $$ \phi_{\text{Zero}}(\omega) \approx \arctan!\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right), \quad \phi_{\text{Pole}}(\omega) \approx -\arctan!\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right). $$ جمع الأطوار يكشف أين يقترب النظام من العلامة الحرجة $-180^\circ$.

حافظ على تفاعلية الرسم بوضع نقاط تحقق بالقلم: ضع دائرة حول عرض الحزمة المتوقع $\omega_b$، دوّن الميل هناك، وتنبأ بمقدار التخميد في استجابة الخطوة قبل تنفيذ أي حساب تفصيلي. اختبر نفسك بمقارنة التقريب الخطي مع المطال الحقيقي المحسوب عند تردد يزيد بعقدة واحدة عن كل زاوية؛ سجّل نسبة الخطأ واشرح سببها.

أخيراً، أنشئ أداة تحقق سريعة. لنبات مثل $G(s) = \frac{50}{(s+2)(s+10)}$، احسب المطال الحقيقي عند $\omega = 2\ \text{rad/s}$ وقارنه بالتقارب. إذا تجاوز الفرق $2\ \text{dB}$، فراجع التعليق الذي أخطأت في تحديده. هذه الحلقة التأملية هي ما يجعل التقريب قابلاً للتنفيذ بدلاً من أن يكون مجرد رسمة توضيحية.