10.11 خصائص الخطأ في الحالة المستقرة من استجابة التردد 

يحكم السلوك منخفض التردد الخطأ في الحالة المستقرة (Steady-State Error)، لذا يوفر تحليل التردد مساراً واضحاً لتشخيص دقة التتبع دون العودة إلى مبرهنة القيمة النهائية (Final Value Theorem) في كل مرة.

ركز على دالة الحساسية $S(j\omega) = \frac{1}{1 + L(j\omega)}$. بالنسبة للمدخلات القياسية:

• ثابت خطأ الموقع $K_p = \lim_{\omega \to 0} |L(j\omega)|$.
• ثابت خطأ السرعة $K_v = \lim_{\omega \to 0} \omega |L(j\omega)|$.
• ثابت خطأ العجلة $K_a = \lim_{\omega \to 0} \omega^2 |L(j\omega)|.

اتبع هذا البروتوكول لربط النقاط:

1. افحص المطال منخفض التردد. ارسم $|L(j\omega)|$ إلى ما لا يقل عن عقدتين أسفل عرض الحزمة. إذا كان الميل $-20\ \text{dB/dec}$، فالنظام من النوع الأول (Type 1) ويزيل خطأ الخطوة. إذا كان $-40\ \text{dB/dec}$، فهو من النوع الثاني (Type 2) وجاهز لتتبع المنحدرات. اكتب في الهامش لماذا يزيد كل تكامل إضافي الكسب منخفض التردد.
2. احسب ثوابت الخطأ. قرّب $K_p$ أو $K_v$ أو $K_a$ من التقارب منخفض التردد. مثلاً، إذا كان $|L(j0.1)| = 40\ \text{dB}$، فإن $K_p \approx 10^{40/20} = 100$. حوّل ذلك إلى خطأ حالة مستقرة لخطوة وحدة: $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p}$.
3. قيّم رفض الاضطراب. احسب $|S(j\omega)|$ في نطاق تردد الاضطراب. قيم عالية لـ $|S|$ تعني رفضاً ضعيفاً. قرر ما إذا كنت بحاجة إلى رفع الكسب منخفض التردد (تعويض Lag) أو إعادة تشكيل الحلقة في مكان آخر.

كمثال سريع، خذ $L(s) = \frac{200}{s(s+10)}$. قدّر $K_p$ و$K_v$ من مخطط المطال. تنبأ بخطأ الحالة المستقرة لمنحدر وحدة، ثم تحقق بالمحاكاة. عندما تتطابق النتائج، دوّن صراحة أن مخطط التردد قدّم الإجابة أسرع من تحليل الزمن—هذا يعزز “لماذا” نستخدم الطريقة.