10.10 العلاقة بين الاستجابة العابرة للحلقة المغلقة والاستجابة الترددية للحلقة المفتوحة 

في كثير من الأحيان تمتلك فقط بيانات التردد للحلقة المفتوحة $L(j\omega)$، بينما يطلب أصحاب المصلحة مواصفات زمنية مثل زمن الاستقرار والتجاوز. يوضح هذا القسم كيفية استنتاج تلك النتائج الزمنية من دون حل معادلة الحلقة المغلقة صراحةً.

استخدم حلقة التفكير ثلاثية الخطوات:

1. حدد تردد عبور الكسب $\omega_{gc}$. في الحلقات المصممة جيداً ذات الأقطاب المركبة المسيطرة، يقترب $\omega_{gc}$ من عرض الحزمة المغلق. حوّل عرض الحزمة إلى زمن نهوض عبر $T_r \approx \frac{1.8}{\omega_{gc}}$ وزمن استقرار عبر $T_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$ مع $\omega_n \approx \omega_{gc}$ و$\zeta$ المستنتجة من هامش الطور (انظر الخطوة 2).
2. حوّل هامش الطور إلى نسبة تخميد. تربط علاقة تقريبية هامش الطور $\text{PM}$ بالتخميد: $\zeta \approx \frac{\text{PM}}{100}$ لـ $30^\circ < \text{PM} < 70^\circ$. علاقة أدق تحل المعادلة $$ \text{PM} \approx \tan^{-1}!\left(\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1 + 4\zeta^4} - 2\zeta^2}}\right). $$ تدرّب على حل هذه المعادلة عددياً لتدرك كيف يرفع هامش الطور الكبير التخميد ويقلل التجاوز.
3. تنبأ بالتجاوز والذروة. بمجرد معرفة $\zeta$، استخدم $M_p = e^{\left(-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\right)}$. قارِن ذلك بذروة الرنين $M_r$ المستنتجة من $L(j\omega)$ عبر $T(j\omega) = \frac{L}{1+L}$. أي اختلاف يشير إلى ديناميكيات رتبة أعلى أو أصفار تؤثر في الاستجابة؛ دوّنها وحدد إن كان التقريب كافياً.

طبّق هذا المسار على $L(s) = \frac{100(s+4)}{s(s+5)(s+20)}$. من مخطط بودي، اقرأ $\omega_{gc}$ و$\text{PM}$. حوّل إلى $\zeta$، ثم تنبأ بـ $T_s$ و$M_p$. قارِن أخيراً مع استجابة خطوة محاكية—هل صمدت التقريبات؟ اكتب سبب النجاح أو الفشل (مثلاً وجود زوج أقطاب ضعيف التخميد فوق $\omega_{gc}$ غيّر الاستجابة).

هذا الربط المنضبط يذكرك دائماً بـ لماذا يعمل الضبط في مجال التردد: زيادة هامش الطور ليست فكرة مجردة—إنها ترفع التخميد، تقلل التجاوز، وتضمن أن الاستجابة الزمنية المغلقة تلبي المتطلبات.