9.3 تحسين الاستجابة العابرة عبر التعويض المتسلسل (Cascade Compensation) 

افترض أن نظامك يحقق مواصفة الحالة المستقرة لكنه يفشل في جعل الأقطاب المغلقة (Closed-Loop Poles) تعبر خط التخميد الذي يمنحك مقدار التجاوز المقبول. يقوم معوِّض التقدم (Lead Compensator) بسحب المسار نحو نصف المستوى الأيسر عبر إضافة طور موجب بالقرب من موقع القطب المرغوب. صيغته القياسية هي $G_c(s) = \frac{s + z_c}{s + p_c}$ مع $0 < z_c < p_c$، بحيث يكون الصفر أقرب إلى الأصل من القطب.

لماذا نحتاجه؟ لأن فروع المحور الحقيقي في المسار غير المعوَّض قد لا تمر أبداً بمنطقة الأقطاب المركبة التي تمتلك نسبة التخميد المطلوبة $\zeta^\star$ أو زمن الاستقرار $T_s^\star$. مرحلة التقدم تعيد تشكيل زوايا مسار الأقطاب بحيث يتحقق شرط الزاوية في المنطقة المستهدفة دون المطالبة بكسب غير واقعي.

جرب هذا التمرين العملي المؤلف من ثلاث خطوات:

1. تحديد القطب المطلوب. حوّل مواصفات الأداء إلى إحداثيات الأقطاب. لمتطلبات $M_p \leq 10%$ و$T_s \leq 2\ \text{s}$، حل المعادلتين $$ \zeta = -\frac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2 + \omega_d^2}}, \qquad T_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}. $$ ارسم النقطة الناتجة $s_d = -\sigma + j\omega_d$ على مخطط مسار الأقطاب.
2. حساب مقدار الطور المطلوب. اجمع الزوايا من كل قطب وصفر موجود في $G(s)$ إلى $s_d$. سجّل العجز $\phi = 180^\circ - \left[\sum(\text{زوايا الأقطاب}) - \sum(\text{زوايا الأصفار})\right]$. هذا هو الطور الذي يجب أن يوفره معوِّض التقدم (عادة بين $20^\circ$ و$60^\circ$). قل الرقم بصوت مرتفع؛ سماعه يساعدك على استيعاب ما إذا كان التصحيح بسيطاً أم قوياً.
3. وضع الصفر والقطب. اختر التردد $\omega_c = |s_d|$ وحدد $$ z_c = -\omega_c \sqrt{\beta}, \qquad p_c = -\frac{\omega_c}{\sqrt{\beta}}, $$ حيث $\beta = \frac{1 - \sin\phi}{1 + \sin\phi}$. ارسم كلتا النقطتين على المحور الحقيقي وأعد تقييم شرط الزاوية لتتأكد من أن المسار المعوَّض يمر عبر $s_d$. عدّل قليلاً إذا تجاوز المجموع الحد؛ صف التعديل: «أزحت الصفر يساراً بمقدار 0.5 فزاد الطور 5 درجات».

بعد أن تستقيم الزوايا، احسب الكسب الذي يضع القطب المغلق تماماً عند $s_d$: $$ K = \left|\frac{1}{G_c(s_d)G(s_d)}\right|. $$ إذا سمح الوقت، حاكِ أو ارسم استجابة الدرج (Step Response) المتوقعة من هذه الأقطاب (زمن الذروة، نسبة التجاوز)، وقارنها بالنظام غير المعوَّض. هذا التباين يجعل أثر معوِّض التقدم في تحقيق استجابة عابرة أسرع وأفضل تخميداً أكثر وضوحاً.