9.2 تحسين خطأ الحالة المستقرة عبر التعويض المتسلسل (Cascade Compensation) 

عندما يخبرك مسار الأقطاب (Root Locus) بأنّ أي قيمة للكسب $K$ وحدها لن تحقق دقة الحالة المستقرة المطلوبة، فإنك تضيف عنصراً يغيّر الكسب منخفض التردد دون أن يزعج جوار الأقطاب السائدة كثيراً. هذه مهمة معوِّض التأخر (Lag Compensator)، ويأخذ عادةً الشكل $G_c(s) = \frac{s + z_c}{s + p_c}$ حيث $z_c < p_c$ وكلاهما قريب من الأصل.

لماذا نحتاجه؟ لأن ثوابت الخطأ الساكنة $K_p, K_v, K_a$ تعتمد على مقدار كسب الحلقة المفتوحة (Open-Loop Gain) بالقرب من $s = 0$. قد يملك النظام غير المعوَّض أقطاباً سائدة قريبة بالفعل من نسبة التخميد المطلوبة؛ وزيادة $K$ أكثر ستخالف مواصفات السلوك العابر (Transient Specs). قسم التأخر يضيف كسباً مستمراً (DC Gain) إضافياً بينما يحافظ على شكل المسار شبه ثابت بعيداً عن الصفر.

اعمل من خلال قائمة التحقق التالية على رسم جديد لـ $L(s) = G_c(s)G(s)$:

1. قياس العجز. احسب ثابت الخطأ الحالي. لإدخال على شكل ميل (Ramp Input)، نحصل على $K_v = \lim_{s\to 0} s G(s)$. اكتب القيمة المطلوبة $K_v^\star$ والقيمة الحالية في الهامش، ثم اقسم لتحصل على معامل تعزيز الكسب المطلوب $M = \frac{K_v^\star}{K_v}$.
2. تموضع الصفر والقطب. اختر $z_c = \frac{1}{T}$ و$p_c = \frac{1}{\alpha T}$ مع $0 < \alpha < 1$. ابدأ بالاختيار $\alpha = 0.1$؛ فهذا يمنحك $20\ \text{dB}$ من الكسب الإضافي منخفض التردد. ارسم هذه النقاط على المحور الحقيقي قرب الأصل وفسّر لنفسك كيف يحافظ اقترابهما على المسار شبه ثابت بعيداً عن الصفر.
3. إعادة ضبط الكسب الكلي. بعد وضع المعوِّض، عدّل $K$ بحيث تعود الأقطاب المغلقة السائدة إلى خط التخميد المطلوب. ارسم الفرع الجديد لمسار الأقطاب وتحقق من شرط الزاوية (Angle Condition): اجمع الزوايا من كل الأقطاب والأصفار إلى نقطة مرشحة للتأكد من أن المجموع يساوي $(2k + 1)\pi$.

علّم رسمك بالقيم السابقة واللاحقة لـ $K_v$. إذا توفر لديك أداة رمزية، احسب $$ K_v^{\text{new}} = \lim_{s\to 0} s, G_c(s) G(s) $$ وتحقق من مطابقته للهدف. شارك الحساب مع زميل واطلب منه رصد أي تقريبات؛ فهذه المناقشة ترسّخ فهمك لكيفية تحقيق معوِّض التأخر دقة عالية دون التضحية باستجابة عابرة جيدة.