8.9 المخطط الجذري لأنظمة التغذية الراجعة الموجبة
قد تبدو التغذية الراجعة الموجبة غريبة إذا كنت تبحث عن الاستقرار، لكنها تظهر في المذبذبات، دوائر معالجة الإشارة، وحتى في الأنظمة البيولوجية. أدوات المخطط الجذري ما تزال صالحة—فقط بدّل إشارة المعادلة المميزة.
إذا كان لدينا حلقة $L(s) = K\frac{N(s)}{D(s)}$ مع تغذية راجعة موجبة، تصبح المعادلة: $$ 1 - L(s) = 0 \quad \Rightarrow \quad D(s) - K N(s) = 0. $$ هذا التغيير في الإشارة ينعكس على كل قاعدة تعرفها. اتبع هذه القائمة مع المثال $G(s) = \frac{K}{s(s+4)}$:
- إعادة اشتقاق قاعدة المحور الحقيقي. ضع الأقطاب عند $0$ و$-4$. طبّق قاعدة العدد الفردي على $D(s) - K N(s) = 0$. ستجد أنّ المخطط يحتل المقاطع التي يَعدّ فيها عدد الأقطاب والأصفار على اليمين رقمًا زوجيًا. السبب أن شرط الزاوية تغيّر بمقدار $\pi$.
- تعديل شرط الزوايا. شرط المقدار يبقى $|L(s)| = 1$، لكن شرط الزاوية الآن: $$ \angle L(s) = 2k\pi, $$ بدلًا من $(2k+1)\pi$. جرّب نقطة مرشحة واحسب الزاوية لتتأكد من مطابقة القاعدة.
- رسم الخطوط التقاربية بدقة. تبقى صيغة مركز الثقل كما هي، لكن زوايا الخطوط تتغير لتفي بشرط الزاوية الجديد. بما أن $n=2$ و$m=0$، تكون الزوايا $0^\circ$ و$180^\circ$.
- المقارنة مع التغذية الراجعة السالبة. ارسم المخططين على نفس المحور (خط متقطع للسالبة وخط صلب للموجبة). لاحظ كيف يندفع المخطط الموجب إلى نصف المستوى الأيمن عند قيم كسب صغيرة، ما يوضح سبب تجنب التغذية الراجعة الموجبة في التحكم التنظيمي.
- ربط القاعدة بالتطبيق. إذا درست مذبذبات وين-بريدج أو دوائر شميت، اربط اختيار العناصر بالنقاط على مخطط التغذية الموجبة. لماذا يسعى التصميم عمدًا إلى قطب في نصف المستوى الأيمن؟ توثيق الدافع يرسّخ الرياضيات.
عندما تواجه حلقة فيها اقتران حساسات أو تجديد متعمّد، أعد تطبيق هذه الخطوات. الفرق الحقيقي الوحيد هو الإشارة—يسهل تجاهلها، لكنها تقلب استنتاجات الاستقرار.