8.8 المخطط الجذري المعمّم (Generalized Root Locus)
الأنظمة العملية نادرًا ما تعتمد على كسب منفرد. ربما تضيف صفر تعويض (Lead Zero) أو تغيّر البسط في مسار التغذية الراجعة. المخطط الجذري المعمّم يتابع مواقع الأقطاب عندما يتغير أي معامل.
انظر إلى دالة الحلقة المغلقة $$ T(s) = \frac{K(s+z)}{s^2 + (a+b)s + (ab + K(s+z))}, $$ حيث يمكنك تعديل كل من $K$ و$z$. اعتبر $z$ هو المتغيّر و$K$ ثابت.
- تثبيت كسب. اختر $K=5$. ارسم المخطط أثناء تحريك $z$ من $-6$ إلى $+1$. لاحظ كيف يُعيد الصفر تشكيل مسارات الفروع بالرغم من ثبات الكسب.
- إعادة صياغة معادلة الاتزان. اكتبها بصورة $D(s, z) = 0$ ثم حل عن $z$ بدلالة $s$. الجبر يماثل المخطط التقليدي؛ الفارق الوحيد هو المعامل المتغيّر.
- تفسير المنحنيات. ستلاحظ أن قرب الصفر من الأقطاب المسيطرة يدفع الفروع نحو المحور الحقيقي، ما يزيد التخميد عادةً. سجّل المسافة التي يقطع عندها المخطط محور التخيل لأول مرة.
- رسم منظور ثلاثي الأبعاد. ارسم مخططًا يدويًا خشنًا بأبعاد $ \Re(s)، \Im(s)، z $. حتى دون برنامج، رسم مقاطع عند قيم ثابتة لـ$z$ يبيّن كيف يشوّه تغيّر المعامل المنطقة المستقرة.
- ربط النتائج بأهداف التصميم. اسأل نفسك أي المعاملات أسهل في الضبط فعليًا—الكسب، أم موقع الصفر، أم موقع القطب؟ المخطط المعمّم يقدم إجابة بصرية: المعامل الذي يدفع الفرع إلى منطقة المواصفات بأقل تغيير هو أداة الضبط المثلى.
جرّب تبادل الأدوار: ثبّت $z$ وغيّر $K$ مجددًا، ثم اسمح لقطب النبات بالتغيّر (كما يحدث مع تغيّر حرارة). المخطط الجذري المعمّم يحوّل أسئلة الحساسية متعددة المعاملات إلى تفكير هندسي بصري بدلًا من معادلات ثقيلة.