8.6 مثال تطبيقي 

نفّذ هذا المثال الإرشادي لتجميع القواعد معًا. خصص 20 دقيقة وحاول ألا تتجاوز أي خطوة، حتى لو كان بإمكان برنامج رسم إنجازها أسرع.

النبات (Plant). $$ G(s) = \frac{K(s+4)}{s(s+2)(s+6)}. $$

المطلوب. استخدم المخطط الجذري للعثور على قيمة الكسب التي تعطي زوجًا مهيمنًا بنسبة تخميد (Damping Ratio) $\zeta \approx 0.5$.

دليل خطوة بخطوة 

1. خريطة الأقطاب والأصفار. ضع الأقطاب عند $s=0,-2,-6$ والصفر عند $s=-4$، ودوّن الإحداثيات على ورقتك.
2. مقاطع المحور الحقيقي. ظلّل الفواصل $(-\infty,-6)$ و$(-4,0)$. أعد التحقق باستخدام قاعدة العدد الفردي.
3. بيانات الخطوط التقاربية. لأن $n=3$ و$m=1$، احسب مركز الثقل $\sigma_a = -4$ والزوايا $60^\circ$، و$180^\circ$، و$300^\circ$. ارسمها بخطوط خفيفة.
4. نقطة الانفصال. ضع $K(s) = -\frac{s(s+2)(s+6)}{s+4}$، ثم حل $\frac{dK}{ds} = 0$. يجب أن تجد نقطة انفصال حقيقية قرب $s \approx -1.7$. ضع دائرة حولها.
5. خط التخميد المستهدف. نسبة تخميد $\zeta$ تقابل خطًا بزاوية $ \theta = \cos^{-1}\zeta $. عند $\zeta = 0.5$ ارسم شعاعًا من الأصل بزاوية $60^\circ$ نحو يسار المستوى. سمّه “$\zeta=0.5$”.
6. التقاطع. حل عدديًا موقع التقاطع بين الفرع والخط. استخدم برنامج المخطط الجذري لإيجاد نقطة تقارب $s \approx -2.4 \pm j2.8$.
7. قراءة الكسب. عوّض $s = -2.4 + j2.8$ في $K = -\frac{D(s)}{N(s)}$. احسب العدد المركب وخذ قيمته المطلقة لتحصل على $K^\star \approx 34$.

أخيرًا، حاكِ استجابة الخطوة مع $K^\star$ وتحقق من أن التجاوز يوافق التخميد المتوقع. التقط صورة أو جدول بيانات وأرفقه بالرسم؛ الجمع بين البناء الهندسي والاستجابة الزمنية يصقل حدسك التصميمي.