8.4 رسم المخطط الجذري (Root Locus) 

اضبط مؤقتك على عشر دقائق وحاول رسم المخطط الجذري للدالة $$ G(s) = \frac{K(s+2)}{s(s+4)(s+6)} $$ من دون استخدام الحاسوب. اتبع الخطوات أدناه ثم قارن نتيجتك بالرسم المحوسب لتعاير حدسك.

1. تحديد الأقطاب والأصفار. ضع الأقطاب عند $s = 0,-4,-6$ والصفر عند $s=-2$. اكتبها بوضوح فهي أساس العمل كله.
2. تحديد مقاطع المحور الحقيقي. استخدم قاعدة العدد الفردي لتحديد المقاطع التي تنتمي إلى المخطط. لوّن تلك المقاطع بخفة حتى يسهل تعديلها.
3. حساب الخطوط التقاربية ومركز الثقل. بما أنّ $n=3$ و$m=1$، فزوايا الخطوط هي $60^\circ$، و$180^\circ$، و$300^\circ$، بينما مركز الثقل: $$ \sigma_a = \frac{(0-4-6) - (-2)}{3-1} = -4. $$ ارسم المركز ومدّ كل خط تقاربي؛ هذه الأدلة ترشد سلوك الفروع البعيدة.
4. إيجاد نقاط الانفصال والالتحاق (Breakaway/Break-in). اشتق معادلة الكسب $1 + L(s) = 0$ بالنسبة لـ$K$، ضع $\frac{dK}{ds} = 0$، وحل عن النقاط المرشحة. جرّب ذلك يدويًا؛ ستحصل على انفصال قريب من $s \approx -1.3$.
5. تقدير عبور المحور التخيلي. طبّق معيار روث-هرويتز (Routh–Hurwitz) لتحديد قيمة الكسب التي يقطع عندها المخطط محور $j\omega$. هذا الربط يمنحك علاقة مباشرة بهوامش الاستقرار.

بعد انتهاء الوقت، افتح برنامج الرسم، ضع المخطط المحوسب فوق رسمك اليدوي، وعلّم أي منطقة تختلف بينهما. دوّن السبب—هل نسيان خط تقاربي أم خطأ في حساب زاوية؟ حدّث قائمة التحقق قبل الانتقال إلى نظام آخر.