8.3 خصائص المخطط الجذري (Root Locus)
ضع على مخططك نقاط الأقطاب (Poles) والأصفار (Zeros) المفتوحة. كل علامة تكشف خمس خصائص أساسية ستعتمد عليها في كل رسم:
- تماثل حول المحور الحقيقي. بما أنّ معادلة الاتزان ذات معاملات حقيقية، فإن الأقطاب العقدية تظهر أزواجًا مترافقَة. تحدَّ نفسك: ابحث عن دالة بمعاملات حقيقية تملك مخططًا جذريًا غير متماثل—لن تجد. استحالة ذلك هي أول فحص سريع لصحة الرسم.
- عدد الفروع يساوي رتبة النظام. كل قطب مفتوح يولّد فرعًا واحدًا. عدّ الأقطاب قبل البدء. إذا انتهى رسمك بأقل من ذلك، فهناك خطأ في مكان ما.
- المقاطع الحقيقية تتبع قاعدة العدد الفردي. اختر نقطة على المحور الحقيقي. إذا كان مجموع الأقطاب والأصفار الواقعة على يمين النقطة عددًا فرديًا، فالمقطع ينتمي للمخطط. استخدم ورقة مطوية على المحور لتحديد المقاطع بصريًا.
- الخطوط التقاربية (Asymptotes) ترسم طريق الفروع غير المنتهية. إذا كان عدد الأقطاب $n$ وعدد الأصفار $m$، فإن عدد الخطوط التقاربية يساوي $n-m$، وزواياها $$ \theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{n-m}, \quad k = 0,1,\ldots,n-m-1, $$ مع مركز ثقل (Centroid) يساوي $$ \sigma_a = \frac{\sum \text{الأقطاب} - \sum \text{الأصفار}}{n-m}. $$ ضع بطاقات صغيرة على الرسم لتكتب كل زاوية؛ ستتفادى أخطاء الحساب.
- زوايا المغادرة والوصول. هذه الزوايا تضمن تواصل الفرع عند مغادرته قطبًا عقديًا أو وصوله إلى صفر عقدي. كتابة مجموع الزوايا الناتجة من كل الأقطاب والأصفار الأخرى تجعل شرط الاستمرارية واضحًا.
وأنت تسجل هذه الخصائص، دوّن سبب أهميتها بالنسبة لمواصفاتك. إذا كان هدفك مثلًا هو الحصول على أقطاب مسيطرة على المحور الحقيقي، لاحظ أي خاصية تضمن بقاء الفرع على المحور مدة كافية. إضافة "لماذا" تمنع القائمة من التحول إلى حفظ بلا فهم.