8.2 تعريف المخطط الجذري (Root Locus) 

تخيّل حلقة تغذية راجعة تعتمد على مُعامِل واحد: $$ L(s) = K \frac{N(s)}{D(s)}, \qquad T(s) = \frac{L(s)}{1 + L(s)}. $$ المخطط الجذري هو مجموعة مواقع أقطاب الحلقة المغلقة $s$ التي تحقق المعادلة $D(s) + K N(s) = 0$ عندما يتغير الكسب $K$ من $0^+$ حتى $+\infty$. بدلًا من حل تلك المعادلة في كل مرة، نتتبع مسار الجذور بشكل مستمر.

لتستوعب التعريف، نفّذ هذا التمرين القصير:

1. ابدأ بالدالة $G(s) = \dfrac{K(s+3)}{s(s+1)(s+5)}$.
2. شكّل معادلة الاتزان $s(s+1)(s+5) + K(s+3) = 0$.
3. استخدم الحاسب لحساب الجذور عند $K = 0.1$، و$K = 2$، و$K = 20$.
4. ضع هذه النقاط على المستوى المركب واربطها بترتيب زيادة $K$. هكذا أنشأت مخططًا جذريًا مبسّطًا يدويًا.

لماذا نهتم برسم المنحنى كاملًا؟ لأن ضبط المتحكم يعني في الحقيقة فهم مسار الأقطاب، لا نهاياته فقط. تعريف المخطط الجذري يمنحك المسار المستمر كله، بحيث تحكم على الاستقرار ونسب التخميد والتردد الطبيعي لأي قيمة كسب وسيطة من دون إعادة حساب الجذور كل مرة.

احتفظ بالتعريف الجبري بالقرب منك؛ فكل قاعدة إنشائية ستتعلمها لاحقًا ليست سوى اختصار لحل $D(s) + K N(s) = 0$ بصورة بيانية.