8.10 حساسية الأقطاب (Pole Sensitivity) 

الأنظمة تعمل في عالم مليء بالتفاوتات. تخيّل أن مقاومة تغيّرت بنسبة 5%. إلى أي مدى تنزاح أقطابك المغلقة؟ المخطط الجذري يوفر وسيلة لقياس ذلك عبر حساسية القطب.

إذا كان القطب المغلق $s^\star$ يحل $D(s) + K N(s) = 0$، فإن حساسيته بالنسبة لمعامل $\alpha$ داخل $D$ أو $N$ هي: $$ S_{s^\star}^{\alpha} = \frac{\partial s^\star / \partial \alpha}{s^\star / \alpha}. $$ عندما يكون $\alpha$ هو الكسب $K$، نحصل من التفاضل الضمني على: $$ \frac{\partial s^\star}{\partial K} = -\frac{N(s^\star)}{D'(s^\star) + K N'(s^\star)}. $$ لتحويل هذه الصيغ إلى حدس، جرّب التمرين التالي مع $L(s) = K\frac{s+3}{s(s+2)}$:

1. اختر نقطة مرجعية. حدد قطبًا مغلقًا عند $K = 8$ واحسب $s^\star$ عدديًا.
2. اشتق يدويًا. عوّض $s^\star$ في التعبير أعلاه لتقدير $\partial s^\star / \partial K$. سجل الجزء الحقيقي والتخيلي.
3. تحقق عدديًا. غيّر الكسب بمقدار $\Delta K = 0.2$ وأعد حساب القطب. قارن الانزياح الفعلي بتقدير المشتقة ودوّن نسبة الخطأ.
4. ترجمة الأثر على الأداء. حوّل انزياح القطب إلى تغيّر في زمن الاستقرار ونسبة التخميد. مثال: قرّب نسبة التخميد عبر $\zeta = -\frac{\Re(s^\star)}{|s^\star|}$. قرر ما إذا كان تباعد المكوّن مقبولًا.
5. توسيع التحليل إلى معاملات النبات. كرر التمرين بالنسبة لقطب نبات $p$ داخل $D(s) = s(s+p)$. لاحظ أي المعاملين أكثر تأثيرًا على القطب، فهذا يساعدك على تحديد المكوّنات التي تستحق دقة تصنيع أعلى.

حساسية الأقطاب تجعل متانة تصميمك عبر المخطط الجذري كمية يمكن قياسها. احتفظ بجدول صغير للحساسية بجانب الكسب المختار؛ ستحول عبارات المتانة العامة إلى حدود تصنيع قابلة للتنفيذ.