7.8 الخطأ في الحالة المستقرة للأنظمة في فضاء الحالة (State Space) 

حوّل كل ما تعلمته إلى صيغة فضاء الحالة (State Space). ابدأ بالتمثيل القياسي: $$ \dot{x} = Ax + Bu,\qquad y = Cx + Du. $$ مع تغذية راجعة للحالة (State Feedback) وتتبّع مرجعي وحدوي، يمكن أن يكون قانون التحكم $u = -Kx + r$. اشتق ديناميكيات الخطأ بوضوح بدلاً من الاعتماد على صيغة جاهزة: $$ e = r - y = r - Cx - Du. $$ اكتب النظام المغلق في صورة موسّعة، ثم حل عن متجه الحالة في الحالة المستقرة $x_{\text{ss}}$ تحت مرجع ثابت $r = r_0$: $$ 0 = (A - BK) x_{\text{ss}} + B r_0,\qquad e_{\text{ss}} = r_0 - C x_{\text{ss}} - D r_0. $$

لتثبيت الاشتقاق، اعمل على المثال التالي:

1. اختر $A = \begin{bmatrix}0 & 1\ -4 & -3\end{bmatrix}$، و$B = \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}$، و$C = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}$، و$D = 0$.
2. اختر مكسب تغذية حالة $K = \begin{bmatrix}k_1 & k_2\end{bmatrix}$.
3. حل المعادلة $(A - BK) x_{\text{ss}} + B r_0 = 0$ لإيجاد $x_{\text{ss}}$ بدلالة $k_1$ و$k_2$ و$r_0$.
4. عوّض في $e_{\text{ss}}$ وحدد القيم التي تجعل الخطأ صفريًا.

أثناء الحساب، لاحظ أن تحقيق $e_{\text{ss}} = 0$ لإشارة خطوة يتطلب أن يكون الكسب من $r$ إلى $y$ في الحالة المستقرة مساويًا للواحد. دوّن هذا الشرط عبر تقييم دالة النقل: $$ G(s) = C (sI - A)^{-1} B + D, $$ ثم طبّق مبرهنة القيمة النهائية (Final Value Theorem) كما في الأقسام السابقة. تأكد أن الجبر يطابق حل فضاء الحالة—هذا التقاطع يعزز الثقة.

امتداد تفاعلي: افترض أنك أضفت حالة تكامل $z$ بمعادلة $\dot{z} = r - y$ وتحكم موسّع $u = -Kx - k_i z + r$. اشتق المعادلات في الحالة المستقرة وأثبت أن $e_{\text{ss}} = 0$ للمرجع الثابت بغض النظر عن نوع النبات الأصلي. اكتب فقرة قصيرة في ملاحظاتك تشرح كيف يغيّر التكامل الذاتي بنية القيم الذاتية للنظام المغلق.

اختم بترجمة أحد تصميماتك إلى فضاء الحالة (إذا كان بصيغة دالة نقل، استخدم الشكل القانوني المتحكم به Controllable Canonical Form). كرر الخطوات أعلاه وتحقق من تطابق ثوابت الخطأ عندما تُحسب بالطريقتين. أي اختلاف يعني أنك أغفلت عامل مقياس—ابحث عنه قبل الانتقال للفصل التالي.