7.7 الحساسية (Sensitivity)
تعتمد ثوابت الخطأ في الحالة المستقرة على معاملات النبات—مقاومات، كتل، ثوابت زنبرك—وهي نادرًا ما تبقى ثابتة. كمّن هشاشة تصميمك بحساب الحساسية. لأي كمية $Q$ تعتمد على معامل $p$، عرّف: $$ S_Q^p = \frac{p}{Q} \frac{\partial Q}{\partial p}. $$ عندما يكون $|S_Q^p| = 2$، فإن تغيرًا بنسبة %5 في $p$ يولّد تقريبًا تغيرًا بنسبة %10 في $Q$. افتح مفكرتك واحسب $S_{e_{\text{ss}}}^p$ لمعامل تهتم به.
اشتقاق موجَّه: اعتبر ثابت خطأ الخطوة $K_p$ لنظام تغذية راجعة وحدوي حيث $G(s) = \frac{K}{(s+a)(s+b)}$. لاحظ أن $K_p = \frac{K}{ab}$. اشتق بالنسبة إلى $a$ و$b$: $$ S_{K_p}^a = -\frac{a}{ab} \cdot \frac{K}{a^2 b} = -1, \quad S_{K_p}^b = -1. $$ ماذا يعني ذلك؟ أي زيادة نسبية في أحد القطبين تقلّل $K_p$ بالنسبة نفسها. عبّر عن هذه الملاحظة بكلماتك.
ادفع المفهوم أبعد عبر فحص حساسية ثابت خطأ الميل $K_v = \lim_{s \to 0} s G(s)$. إذا تضمّن نباتك معامل تخميد غير مؤكد $c$، احسب $\partial K_v / \partial c$ وفسر النتيجة. هل يخفف فعل التكامل (Integral Action) الحساسية أم يضخمها؟
لجعل الرياضيات ملموسة، نفّذ تجربة سريعة:
- اختر قيمًا رقمية لـ $K$ و$a$ و$b$.
- احسب $K_p$ وخطأ الخطوة الناتج.
- غيّر $a$ بنسبة %10+ وأعد الحساب.
- قارن التغير النسبي الفعلي بتوقع $S_{K_p}^a$.
سجّل أي اختلاف وافترض سببه (مثل إهمال تشبع المحرك أو الاحتكاك اللاخطي). هذا التمرين يجعلك تتعامل مع الحساسية كأداة تشخيص وليست مجرد حساب.
أخيرًا، صل الحساسية بقرارات التصميم. إذا وجدت أن $|S_{e_{\text{ss}}}^p|$ كبير لمعامل غير مؤكد، فكّر في خيارات التخفيف: إضافة تحكم تكاملي Robust Integral، استخدام تقدير متكيف (Adaptive Estimation)، أو إعادة تصميم الأجهزة لتضييق التفاوتات. دوّن أفضل استراتيجيتين ستستكشفهما لاحقًا.