7.6 الخطأ في الحالة المستقرة لأنظمة التغذية الراجعة غير الوحدوية (Nonunity Feedback) 

نادراً ما تكون الحياة ببساطة التغذية الراجعة الوحدوية. الحساسات تغيّر الإشارة، المرشحات تدخل الحلقة، وتظهر مسارات تغذية أمامية. عندما تتضمّن التغذية الراجعة دالة تحويل $H(s)$، يصبح الخطأ: $$ E(s) = \frac{1}{1 + G(s)H(s)} R(s) - \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} D(s), $$ ويصبح المخرج $Y(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} R(s)$. هدفك: اختزال هذا النموذج إلى شكل تغذية راجعة وحدوية عبر تعريف تحويل مفتوح مكافئ $G_{\text{eq}}(s) = G(s)H(s)$.

قائمة تحقق—طبّقها على حلقتك الخاصة:

ارسم المخطط التفصيلي مع كل كسب حساس وكل مرشح.
اختزل مسار التغذية الراجعة إلى $H(s)$ واحدة.
كوّن $G_{\text{eq}}(s) = G(s)H(s)$ واستخرج الثوابت الساكنة $K_p$ و$K_v$ و$K_a$.
اسقط المواصفة على $G_{\text{eq}}(s)$، ثم ترجم النتيجة إلى قيود على مكاسب المكوّنات الأصلية.

كتمرين، حلّل السيناريو التالي: نبات $G(s) = \frac{10}{s(s+4)}$ مع حساس يضرب المخرج بـ ‎0.5‎ ومرشح من الدرجة الأولى $F(s) = \frac{1}{0.2s + 1}$ في مسار التغذية الراجعة. استنتج $H(s) = 0.5 F(s)$، كوّن $G_{\text{eq}}(s)$، واحبس ثابت خطأ الميل $K_v$. هل يضعف القطب الإضافي في $F(s)$ أداء الخطأ في الحالة المستقرة؟ حلّل ذلك صراحة.

لرؤية التحويل بصريًا، ارسم الحلقة غير الوحدوية ثم ارسم الحلقة المكافئة الوحدوية جنبًا إلى جنب:

graph TD
  R((R)) -->|"+"| Σ
  Y((Y)) -->|"H(s)"| H
  H -->|"−"| Σ((Σ))
  Σ -->|"E"| C["Controller"]
  C --> G["Plant G(s)"]
  G --> Y
  
  subgraph "Equivalent Unity Loop"
    R2((R)) -->|"+"| Σ2
    Y2((Y)) -->|"−"| Σ2((Σ))
    Σ2 --> C2["C"]
    C2 --> Geq["G(s)H(s)"]
    Geq --> Y2
  end

ضع على كل سهم دالة التحويل الفعلية من نظامك. جعل التكافؤ صريحًا يمنع الأخطاء الجبرية عند الانتقال إلى حساب القيمة النهائية.

إذا اكتشفت أن كسب الحساس يخنق الثابت الساكن، فكّر في الخيارات: زيادة كسب المتحكم، إعادة معايرة الحساس، أو إضافة تغذية أمامية لتعويض الفاقد. اكتب إيجابيات وسلبيات كل خيار—فالرياضيات هنا تتحول إلى قرار تصميمي قابل للتنفيذ.