7.2 الخطأ في الحالة المستقرة (Steady-State Error) لأنظمة التغذية الراجعة الوحدوية 

ابدأ بمخطط تغذية راجعة وحدوي قياسي. الإشارة المرجعية $R(s)$ تمر عبر النبات $G(s)$، وإشارة الخطأ تظهر على شكل $E(s) = R(s) - Y(s)$ حيث $Y(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)} R(s)$. اكتب هذه المعادلات بيدك؛ لا تثق بذاكرتك وحدها. هذا الاشتقاق يهيئك لحساب القيمة النهائية: $$ E(s) = \frac{1}{1 + G(s)} R(s). $$

الآن تحدَّ نفسك بثلاث إشارات مرجعية أساسية. استخدم مبرهنة القيمة النهائية (Final Value Theorem) واستنتج الخطأ في الحالة المستقرة (Steady-State Error) في كل حالة:

الإشارة $r(t)$	تحويل لابلاس $R(s)$	احسب $e_{\text{ss}}$
خطوة وحدوية	$\frac{1}{s}$	$e_{\text{ss}} = \lim_{s \to 0} s \frac{1}{1+G(s)} \frac{1}{s}$
ميل وحدوي (Ramp)	$\frac{1}{s^2}$	$e_{\text{ss}} = \lim_{s \to 0} s \frac{1}{1+G(s)} \frac{1}{s^2}$
قطع مكافئ وحدوي (Parabola)	$\frac{2}{s^3}$	$e_{\text{ss}} = \lim_{s \to 0} s \frac{1}{1+G(s)} \frac{2}{s^3}$

هل تتقارب الحدود؟ إذا اتجه أحدها إلى اللانهاية، توقف واسأل لماذا—التلميح: ربما لا يحتوي نباتك على عدد كافٍ من المكاملات (Integrators).

لجعل الحلقة ملموسة، ارسم مخطط الكتل التالي (عدّله بما يناسب معاملات نباتك):

graph LR
  R((R)) -->|"+"| Σ
  Y((Y)) -->|"−"| Σ((Σ))
  Σ -->|"E"| C["Controller"]
  C -->|"U"| G["Plant G(s)"]
  G --> Y

انسخ المخطط إلى دفترك وعلّق على كل سهم بالتعبير المناسب في مجال لابلاس. هذا الربط يساعدك على وصل الرموز بالإشارات الفعلية.

تجربة سريعة: اختر نباتًا $G(s) = \frac{K}{s(s+2)}$. احسب الخطأ في الحالة المستقرة لإشارة مرجعية خطوة وحدوية. ما قيمة $K$ التي تجعل الخطأ صفرًا؟ تحقق من إجابتك بمحاكاة الاستجابة للخطوة (باستخدام MATLAB أو Python أو حتى جدول حسابي). لاحظ كيف يمنحك فعل التكامل داخل $G(s)$ قدرة تتبع ذاتيًا—لا حاجة لمكامل إضافي.

كلما صادفت خطأً غير صفري، حدّد السبب بوضوح: هل هو كسب مستمر محدود (Finite DC Gain)، أم عدم وجود قطب عند الأصل، أم تشبع في التجربة؟ تسمية السبب هي الخطوة الأولى لمعالجته.