6.5 الاستقرار في فضاء الحالات 

نماذج فضاء الحالة (State-Space Models) تستبدل دوال التحويل بمعادلات متجهية من الدرجة الأولى، لكن سؤال الاستقرار مطابق: هل تتلاشى كل أنماط النظام؟ يمكنك الإجابة إمّا بتفحّص الأخصاء الذاتية (Eigenvalues) للمصفوفة $A$ مباشرة، أو بإرجاع المسألة إلى متعدد حدود مميز واستدعاء روث.

ابدأ من نظام خطي زمني ثابت (Linear Time-Invariant System): $$ \dot{\mathbf{x}} = A \mathbf{x} + B \mathbf{u}, \qquad \mathbf{y} = C \mathbf{x} + D \mathbf{u}. $$ يتعلق الاستقرار بمواقع الأخصاء الذاتية لـ$A$. مواقعها في المستوى العقدي تعكس أقطاب دالة التحويل المستخرجة من $(A, B, C, D)$. أما «الكيفية» فهي بناء المعادلة المميزة: $$ \det(sI - A) = 0, $$ ثم توسيعها إلى متعدد حدود وإدخال معاملاته في جدول روث.

تدريب عملي: خذ مصفوفة $A$ من آخر تقرير مخبري لديك (أو استخدم هذه)، احسب $\det(sI - A)$، وأكمل مصفوفة روث. $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix}. $$ المحدد يعطي $P(s) = s^3 + 6s^2 + 11s + 6$. املأ الجدول ولاحظ بقاء العمود الأول موجبًا—مؤكدًا الاستقرار التقاربي. تحقق متقاطعًا بإيجاد الأخصاء الذاتية: تقع عند $-1$، $-2$، و$-3$.

كلما حولت من فضاء الحالة إلى روث، واظب على هذه الخريطة:

flowchart LR
  A["مصفوفة الحالة A"] --> B["المتعدد المميز det(sI - A)"]
  B --> C["معاملات جدول روث"]
  C --> D["تغيّر إشارات؟"]
  D -->|"لا"| Stable["كل الأخصاء في النصف الأيسر"]
  D -->|"نعم"| Unstable["أقلّه خص واحد في النصف الأيمن"]

تمارين سريعة:

1. من الصيغة القابلة للتحكم (Controllable Canonical Form) ذات المتعدد $s^4 + a_1 s^3 + a_2 s^2 + a_3 s + a_4$، اكتب مصفوفة الحالة وجدول روث جنبًا إلى جنب. هل يضمن كل $a_i$ موجب الاستقرار؟ اختبر ذلك.
2. مع قانون تحكم بالحالة $\mathbf{u} = -K\mathbf{x}$، استنبط كيف يغير المصفوفة المغلقة $A - BK$ معاملات روث. ارسم كيف يحرك ضبط $K$ إشارات العمود الأول.

اربط الجبر بالفيزياء: كل خص حقيقي سالب يعني نمطًا يتلاشى أسّيًا. أخصاء مزدوجة مركبة ذات أجزاء حقيقية سالبة تمثل اهتزازات مخمدة. إذا كشف جدول روث عن تغيّر إشارة، ترجم ذلك إلى «نمط واحد ينمو دون حدود»، ثم أعد التفكير في متحكمك أو نموذج المصنع.