6.4 معيار روث-هورويتز: أمثلة إضافية 

أفضل طريقة لترسيخ روتين روث هي مهاجمة دوال تحويل (Transfer Functions) حقيقية. أدناه ثلاثة أمثلة تتصاعد في الغنى. سر عبر كل واحد يدويًا قبل النظر إلى نقاط التحقق (Checkpoints).

المثال A: حلقة من الدرجة الثالثة مع كسب المتحكم 

لدينا $G(s) = \frac{K}{s(s+2)(s+5)}$ مع تغذية راجعة وحدوية (Unity Feedback)، فيكون متعدد الحدود المميز ذو الحلقة المغلقة: $$ P(s) = s^3 + 7s^2 + 10s + K. $$ مهمتك: ابنِ جدول روث، عبّر شروط العمود الأول بدلالة $K$، ثم احسب مجال الكسب الذي يبقي كل عنصر موجبًا. تلميح: بعد ملء صف $s^1$، ستهبط على المتباينة $7\cdot 10 - 1\cdot K > 0$.

نقطة التحقق: $$ \begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 10 \ s^2 & 7 & K \ s^1 & \frac{7\cdot10 - 1\cdot K}{7} & 0 \ s^0 & K & \ \end{array} $$ طلب عمود أول موجب يعطي $0 < K < 70$.

المثال B: نظام من الدرجة الرابعة مع حالة خاصة 

انظر إلى $P(s) = s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 2s + 1$. تحدَّ نفسك بحمل الجدول حتى يظهر صف $s^1$. إذا واجهت محورًا صفريًا، طبّق حيلة $\varepsilon$ من القسم 6.3. بعد حلها، لخّص نمط الإشارة في العمود الأول. هل النظام مستقر، أم على الحافة، أم غير مستقر؟

فكرة نقطة التحقق: توقّع أن يختفي أحد المحددات الوسيطة، ما يشير إلى زوج محتمل على المحور التخيلي.

المثال C: تصميم لكبح معين 

افترض أنك تحتاج إلى نسبة كبح (Damping Ratio) $\zeta > 0.4$ في نظام من الدرجة الرابعة متعدد الحدود له: $$ P(s) = s^4 + 4s^3 + (6 + K)s^2 + 4Ks + K. $$ الهدف: اختر $K$ بحيث يبقى النظام ذو الحلقة المغلقة مستقرًا. استخدم جدول روث للحصول على متباينات، ثم أعد تفسيرها بدلالة $\zeta$. مكافأة: قارن مجال $K$ النهائي مع ما ستحصل عليه من حدس مخطط الجذور (Root Locus).

احتفظ بورقة مسودة مع نقاط التحقق هذه:

• سجّل عناصر العمود الأول بعد كل صف.
• علّق على ما إذا كانت كل متباينة تقيّد الكسب، أو التردد الطبيعي، أو الكبح.
• ضع دائرة حول أشد قيد—إنه يملي حد تصميمك.

عندما تنتهي، حاول أن تصوغ «لماذا» بصوت مسموع: لأن صف $s^1$ بقي موجبًا، فإن كل زوج أقطاب ممكن يبقى في النصف الأيسر من المستوى العقدي. إعادة شرح المنطق تعزز الحدس الذي ستحتاجه تحت ضغط الامتحان.