6.3 معيار روث-هورويتز: حالات خاصة 

حالتان طرفيتان تعرقلان جدول روث مباشر: (1) أن يكون العنصر الأول في صف ما صفرًا، و(2) أن يصبح صف كامل صفريًا. كلتاهما تهدد حسابات المحور، لكن لكل واحدة حيلة متسقة. فهم لماذا تظهر يمنعك من تطبيق وصفات عمياء.

الحالة 1: العنصر الأول صفر (Leading Element Zero) 

هذا يشير إلى وجود جذر على المحور التخيلي (Imaginary Axis) أو أزواج أقطاب متناظرة. إذا اختفى العنصر الأول في صف بينما بقيت العناصر الأخرى، استبدله بصغير موجب $\varepsilon$، أكمل الجدول رمزيًا، ثم خذ النهاية عندما $\varepsilon \to 0^+$. إشارة عناصر العمود الأول فوق وتحت الصف المعضل تكشف اتجاه الاستقرار بينما يَعبر القطب المحور.

جرّبها: افترض أن صف $s^2$ يبدأ بصفر في جدول القسم 6.2. اكتب $\varepsilon$ مكانه، أكمل الحساب، وفسّر تغيّر الإشارات الناتج مع اقتراب $\varepsilon$ من الصفر. هل تستطيع تحديد ما إذا كان قطب ما يهاجر نحو اللاثبات؟

الحالة 2: صف كامل صفر (Entire Row Zero) 

هذا يعني أن متعدد الحدود يمتلك أزواج جذور متناظرة حول الأصل، عادة جذورًا تخيلية صافية تؤدي إلى تذبذبات مستمرة. شكّل متعدد حدود مساعد (Auxiliary Polynomial) من الصف السابق للصف الصفري: $$ A(s) = b_0 s^m + b_1 s^{m-2} + \dots, $$ حيث تأتي المعاملات $b_i$ من ذلك الصف السابق. فرّق $A(s)$ بالنسبة لـ$s$ واستبدل الصف الصفري بمعاملات المشتق. إكمال الجدول بعد هذا الاستبدال يسمح لك بعد تغيّر الإشارات بثقة.

تمرين عملي: ابنِ جدول روث لـ$P(s) = s^4 + 2s^2 + 1$. ستصطدم بصف صفري. شكّل المتعدد المساعد، فرّقه، وواصل. هل يحتوي العمود الأول النهائي على أي تغيّر إشارات؟ إن كان كذلك، أي نوع من الجذور يتنبأ به ذلك؟

احتفظ بشجرة قرارات سريعة أثناء العمل:

flowchart TD
  Start(["مشكلة في الصف؟"]) -->|"نعم"| Zero["العنصر الأول صفر"]
  Start -->|"لا"| Continue["أكمل الصف التالي"]
  Zero --> Epsilon["استبدل بـ ε>0 وأكمل وخذ النهاية"]
  Zero --> RowZero["هل الصف كامل صفر؟"]
  RowZero --> Aux["كوّن متعددًا مساعدًا من الصف السابق"]
  Aux --> Diff["فرّق واستبدل الصف"]
  Continue --> Verdict["عد تغيّر الإشارات"]
  Diff --> Verdict

قبل المتابعة، دوّن مثالًا واحدًا لكل حالة خاصة في دفترك. اكتب التفسير الفيزيائي (استقرار حدي، تذبذب) بجوار الحساب. هذه العادة تربط الإصلاح الحسابي بسلوك النظام الذي تهتم به في النهاية.