6.2 معيار روث-هورويتز 

معيار روث-هورويتز (Routh-Hurwitz Criterion) هو كاشف صدق الاستقرار لديك. تُدخل إليه معاملات متعدد الحدود المميز (Characteristic Polynomial)، فيجيبك—من دون كشف الجذور—عمّا إذا كان كل قطب يقع إلى يسار المحور التخيلي. لماذا يهمك ذلك؟ لأن تحليل جذور متعدد حدود عالي الدرجة مؤلم، بينما بناء جدول روث (Routh Table) عملية ميكانيكية.

ابدأ من متعدد حدود مميز مضبوط بمعامل رئيس موجب: $$ P(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + \dots + a_n,\qquad a_0 > 0. $$ ستبني مصفوفة روث صفًا بصف بحيث يشفّر كل عنصر سلوك إشارات الجذور. يلتقط الصفان الأولان المعاملات: $$ \begin{array}{c|cccc} s^n & a_0 & a_2 & a_4 & \cdots \ s^{n-1} & a_1 & a_3 & a_5 & \cdots \ \end{array} $$ بعدها تحسب كل عنصر جديد $b_{ij}$ عبر اختصار المحدد: $$ b_{11} = \frac{a_1 a_2 - a_0 a_3}{a_1},\qquad b_{12} = \frac{a_1 a_4 - a_0 a_5}{a_1}, $$ وما إلى ذلك، مع استخدام المحور (Pivot) من الصف السابق دائمًا.

جرّب الآن. من أجل $P(s) = s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5$، ضع الصفين الأولين على الورق، ثم احسب صف $s^2$. هل تبقى الإشارات موجبة؟ قارن بعد أن تنهي: $$ \begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & 3 & 5 \ s^3 & 2 & 4 & 0 \ s^2 & \frac{2\cdot3 - 1\cdot4}{2} = 1 & \frac{2\cdot5 - 1\cdot0}{2} = 5 & 0 \ \end{array} $$ أكمل الحساب بنفسك؛ كل تغيّر إشارة في العمود الأول يشير إلى جذر في النصف الأيمن من المستوى العقدي (Right-Half Plane). انعدام تغيّر الإشارات يعني استقرارًا تقاربيًا (Asymptotic Stability). إذا أحصيت تغيّرين، فأنت تعلم فورًا أن قطبين يعيشان في النصف غير المستقر.

لتحافظ على العملية محكمة، تبنَّ قائمة تحقق صغيرة أثناء ملء الجدول:

1. تأكّد من وجود كل معامل $a_i$؛ أدرج أصفارًا للدرجات المفقودة.
2. طبيع بحيث يكون $a_0 > 0$.
3. بعد كل صف، امسح العمود الأول بحثًا عن تغيّر إشارات؛ دوّنها في مفكرتك.

قبل المتابعة، اختر نظامًا من مقررك، اكتب متعدد الحدود المميز له، وبنِ جدول روث كامل. لا تتخطَّ الحساب اليدوي—أنت بحاجة إلى ذاكرة عضلية عندما يفاجئك امتحان أو مقابلة بلا برمجيات.