5.8 تحويلات التشابه 

تحويلات التشابه (Similarity Transformations) تتيح لك إعادة تشكيل نموذج فضاء الحالة دون تغيير سلوك الدخل–الخارج. الفائدة واضحة: الأشكال القطرية (Diagonal Forms) أو جوردان (Jordan Forms) تُظهر القيم الذاتية (Eigenvalues) بسرعة، وتفصل بين الأنماط السريعة والبطيئة، وتُبَسِّط تصميم المتحكم أو المراقب.

لدى النظام الأصلي: $$ \dot{x} = A x + B u, \qquad y = C x + D u, $$ عرّف متجه حالة جديد $z = T x$ بمصفوفة تحويل غير منفردة $T$. بالتفاضل نحصل على: $$ \dot{z} = T \dot{x} = T A T^{-1} z + T B u, \qquad y = C T^{-1} z + D u. $$ إذًا يصبح التمثيل المحوَّل $(\tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C}, D) = (T A T^{-1}, T B, C T^{-1}, D)$.

لتحويل $A$ إلى شكل قطري، اختر $T$ بحيث تحتوي أعمدته على متجهات ذاتية مستقلة. إذا لم يمتلك $A$ أساسًا كاملاً من المتجهات الذاتية، فكوّن $T$ من سلاسل جوردان وتوقع أن تكون $\tilde{A}$ مثلثية علوية بكتل. في كلا الحالتين، تملأ القيم الذاتية القطر، ما يجعل معدلات التلاشي أو ترددات الاهتزاز واضحة.

جرب مثالًا محددًا: $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix}. $$ احسب القيم الذاتية $(-1، -2، -3)$ والمتجهات الذاتية، ثم شكّل $T$ وقيّم $\tilde{A}$. تحقق عدديًا من أن $\tilde{A}$ قطرية. بعد ذلك حوّل $B$ و$C$ وفقًا للصيغة. هل يمنحك $\tilde{B}$ القدرة على التحكم في أبطأ نمط؟ إن لم يكن، ففكر في اختيار $T$ مختلف — مثل تحويل قابلية التحكم (Controllability Decomposition) — يبرز إمكانية الوصول إلى المدخلات.

راقب حالة التكييف العددي (Numerical Conditioning). الأعداد الكبيرة لمعيار $T$ ومعيار $T^{-1}$ تضخم أخطاء النمذجة عند التعامل مع بيانات حقيقية. كتشخيص سريع، احسب $|T||T^{-1}|$. إذا ارتفع، فاسأل نفسك ما إذا كان القطرنة تستحق الحساسية الزائدة أم أن تحويلًا موزونًا (Balanced Transformation) — حيث تتطابق مصفوفتا إمكان التحكم والملاحظة (Controllability and Observability Gramians) — سيكون أفضل.