5.7 تمثيلات بديلة في فضاء الحالة 

العمل في فضاء الحالة (State Space) يمنحك حرية إعادة تشكيل الأنظمة لأغراض التحليل أو التطبيق العملي. اسأل أولًا: لماذا نبحث عن صيغ بديلة؟ لأن التركيبات التتابعية (Cascade Realizations) والمتوازية (Parallel Realizations) غالبًا ما تعكس البنية الفيزيائية، بينما الصيغ المعيارية للمتَحكِّم (Controller Canonical Form) والمراقب (Observer Canonical Form) تُبسّط تصميم المتحكم وتقدير الحالة.

عند وصل عدة نظم على التوالي، اجمع حالاتِها وابنِ مصفوفة $A$ ذات بنية كتلية مثلثية (Block-Triangular). لنظامين بحالات $x_a$ و$x_b$: $$ \dot{x}_a = A_a x_a + B_a u, \qquad \dot{x}_b = A_b x_b + B_b y_a, $$ يمكن دمجهما كما يلي: $$ \dot{x} = \begin{bmatrix} A_a & 0 \ B_b C_a & A_b \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} B_a \ B_b D_a \end{bmatrix} u, $$ حيث $x = \begin{bmatrix} x_a^\top & x_b^\top \end{bmatrix}^\top$. نفّذ تمرينًا مماثلًا للأنظمة المتوازية عبر جعل $A$ قطريًا بالكتل (Block-Diagonal) وجمع المخارج باستخدام المصفوفة $C$ المناسبة.

للوصول إلى الصيغة المعيارية للمتَحكِّم (Controller Canonical Form) — المفيدة لوضع الأقطاب (Pole Placement) — أعد كتابة دالة التحويل $$ G(s) = \frac{b_0 + b_1 s + \cdots + b_{n-1} s^{n-1}}{s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_0} $$ على هيئة: $$ A_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \ -a_0 & -a_1 & \cdots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix}, \quad B_c = \begin{bmatrix} 0 \ \vdots \ 0 \ 1 \end{bmatrix}, $$ مع $C_c = \begin{bmatrix} b_0 & b_1 & \cdots & b_{n-1} \end{bmatrix}$. الصيغة المعيارية للمراقب (Observer Canonical Form) تعكس هذه البنية مع تبديل الأدوار بين $A$ و$A^\top$، ما يجعل النموذج متوافقًا مع خوارزميات تقدير الحالة.

ضع الأفكار موضع التنفيذ: اختر نبتة من الدرجة الثالثة وحققها في الصيغة المعيارية للمتَحكِّم. ثم فَكِّك النبتة إلى نظامين من الدرجة الأولى على التوالي عبر الكسور الجزئية (Partial Fractions). اكتب المصفوفات المجمعة صراحة وتحقق من أن كلا التمثيلين يشتركان في دالة التحويل نفسها. لاحظ الفوارق البنيوية — أحدهما كثيف العناصر والآخر كتلي — وفكّر أيهما أسهل للتطبيق على عتاد مضمن.

وأنت تعمل، انتبه لأبعاد كل كتلة مصفوفية. احتفظ بقائمة تحقق تؤكد أن مصفوفات $A$، $B$، و$C$ التي تجمعها متوافقة للضرب. هذا الانتباه يحميك من أخطاء جبرية خفية قد تعطل المحاكاة أو بناء المتحكم لاحقًا.