5.6 مخططات تدفق الإشارة للمعادلات الحالتية 

المعادلات الحالتية (State Equations) تصف ديناميكيات متعددة الحلقات بشكل مضغوط بالفعل، فلماذا نحوّلها إلى مخطط تدفق إشارة (Signal-Flow Graph)؟ لأن المشهد البياني يكشف تشابك الحالات، ويُوضِّح بنية التغذية الراجعة، ويجهزك لتطبيق قاعدة ماسون أو لتحليل سهولة التحكم (Controllability) والملاحظة (Observability).

ابدأ من الصيغة القياسية: $$ \dot{x}(t) = A x(t) + B u(t), \qquad y(t) = C x(t) + D u(t). $$ اعتبر كل حالة $x_i$، والدخل $u$، والخرج $y$ كعقد. ثم اتبع هذه الخطوات:

• لكل عنصر غير صفري $a_{ij}$ في المصفوفة $A$، ارسم ضلعًا من العقدة $x_j$ إلى العقدة $\dot{x}i$ بكسب $a{ij}$.
• تكامل $\dot{x}_i$ للعودة إلى $x_i$ عبر عنصر تكاملي $1/s$ (أو لاحظ ببساطة أن $x_i$ يتراكم من $\dot{x}_i$).
• صِل $u$ إلى $\dot{x}i$ بكسب $b{ij}$ حيثما يظهر عنصر غير صفري في $B$.
• وجه الحالات إلى عقدة الخرج $y$ مع المكاسب $c_i$، وأضف مسارًا مباشرًا $D$ إن وُجد.

للنظام ذي الحالتين: $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, $$ ارسم المخطط بهذا الشكل:

flowchart TD
  U(("u")) -->|"1"| DX1(("ẋ₁"))
  X2(("x₂")) -->|"1"| DX1
  DX1 -->|"1/s"| X1(("x₁"))
  X1 -->|"-2"| DX2(("ẋ₂"))
  X2 -->|"-3"| DX2
  U -->|"1"| DX2
  DX2 -->|"1/s"| X2
  X1 -->|"1"| Y(("y"))

تحقق من كل ضلع: هل يطابق العنصر المقابل في $A$، أو $B$، أو $C$؟

تحدَّ نفسك بإجراء العملية المعاكسة. عند إعطائك مخطط تدفق الإشارة، استخرج مصفوفات $A$، $B$، $C$، و$D$. تأكد أن إعادة بناء المعادلات الحالتية تنتج نفس الديناميكيات التي يقدمها مخطط الكتل أو دالة التحويل الأصلية. هذه المهارة لا تُقدر بثمن عندما ترث نماذج من زملاء يفضلون التمثيل البياني.