5.5 قاعدة ماسون 

قاعدة ماسون (Mason’s Gain Formula) هي ثمرة تحويلك إلى مخطط تدفق الإشارة. تمنحك دالة التحويل الكلية $T = \frac{Y}{R}$ دون تكرار جبر ممل. افهم الدافع: عندما تتفاعل عدة حلقات، يصبح الاختزال المباشر مملًا؛ قاعدة ماسون تنظم الحساب في مجموعة محدودة من المسارات والحلقات.

احفظ البنية: $$ T(s) = \frac{\displaystyle \sum_{k} P_k(s),\Delta_k(s)}{\Delta(s)}, \qquad \Delta(s) = 1 - \sum L_i(s) + \sum L_i(s)L_j(s) - \cdots $$ حيث $P_k$ هي مكاسب المسارات الأمامية (Forward Paths) من عقدة الدخل إلى عقدة الخرج، و$L_i$ هي حاصل ضرب مكاسب الحلقات الفردية، و$\Delta_k$ هي $\Delta$ بعد حذف كل الحلقات الملامسة للمسار رقم $k$.

حوِّل الصيغة إلى إجراء تنفذه بسرعة:

1. عد كل مسار أمامي مميز واحسب مكسبه $P_k$.
2. عدد كل الحلقات الفردية. سجّل مكاسبها وحدد ما إذا كانت تتلامس.
3. شكّل $\Delta$ بدمج الحلقات غير المتلامسة بعلامات متناوبة.
4. لكل مسار أمامي، أنشئ $\Delta_k$ بحذف الحلقات التي تلامسه.
5. ركّب $T(s)$ باستخدام الصيغة الرئيسية.

اعمل على مثال الآن. لنفرض أن المخطط يحتوي على مسارين أماميين $P_1 = G_1 G_2$ و$P_2 = G_3$، وثلاث حلقات: $$ L_1 = -G_1 H_1,\quad L_2 = -G_2 H_2,\quad L_3 = -G_3 H_3, $$ بحيث $L_1$ و$L_2$ تتلامسان، بينما $L_3$ منفصلة. احسب $\Delta$ و$\Delta_k$ صراحة. هل يستفيد $P_2$ من حاصل ضرب الحلقات غير المتلامسة $L_1 L_2$؟ هل يشمل $P_1$ مساهمة $L_3$؟

قبل أن تثق في التعبير النهائي، نفّذ فحصًا سريعًا: إذا جعلت كل مكاسب التغذية الراجعة صفرية، هل ينهار $T(s)$ إلى مجموع المسارات الأمامية؟ إن لم يكن، فراجع تقييمك لتلامس الحلقات. هذا التحقق الذي يستغرق دقيقة يمنع الأخطاء الجبرية العرضية.