5.3 تحليل وتصميم نظم التغذية الراجعة 

بعد أن تختزل مخطط الكتل، يظهر السؤال التالي: هل يستطيع النظام تحقيق المواصفات الزمنية عندما يغلق المتحكم الحلقة؟ التغذية الراجعة (Feedback) تعيد تشكيل الديناميكيات، ويجب أن تتنبأ بذلك قبل أن تثق في التصميم.

ابدأ بكتابة دالة التحويل المغلقة (Closed-Loop Transfer Function). لمتحكم $C(s)$ على التوالي مع النبتة $G(s)$ تحت تغذية راجعة موحدة (Unity Feedback)، نحصل على: $$ T(s) = \frac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)}. $$ هذا التعبير وحده يحمل كل مؤشرات الاستجابة الزمنية التي تهمك. حدد أقطابه (Poles) لقراءة زمن الاستقرار، نسبة التخميد، وتردد الاهتزاز. قيّم الحساسية (Sensitivity) عبر اشتقاق $T(s)$ بالنسبة للبارامترات غير المؤكدة في $G(s)$.

ضع نفسك في مقعد مصمم المتحكم. لنفترض أن المواصفة تنص: «زمن الاستقرار أقل من 2 ثانية، والتجاوز أقل من 10%، ورفض الاضطرابات بعد 20 راديان/ثانية». اتبع التسلسل العملي التالي:

1. اختزل النبتة وعناصر القياس إلى $G(s)$ بأدنى مرتبة ممكنة.
2. ارسم مخطط الجذور (Root Locus) أو بودي (Bode Plot) لـ $C(s)G(s)$ لتصور كيفية تحرك الأقطاب المغلقة مع تغير الكسب.
3. عدل $C(s)$ — ربما بإضافة شبكة تقديم (Lead Network) — لسحب الأقطاب المسيطرة إلى المنطقة المقبولة.
4. تحقق من التصميم بإحلال $C(s)$ و$G(s)$ في $T(s)$ وفحص المواصفات عدديًا.

حافظ على الطابع التفاعلي: قم بحساب سريع الآن. اختر نبتة من الدرجة الثالثة بقطب حقيقي وزيادة (Zero)، وأضف متحكمًا تفاضليًا تناسبيًا $C(s) = K(1 + \tau s)$. احسب أقطاب الحلقة المغلقة لقيمتين مختلفتين من الكسب. أي قيمة تحقق تجاوزًا أقل من 5%؟ ارسم مواقع الأقطاب على المستوى العقدي ودوّن أي مواصفة يحققها كل موضع.

تذكر أن التغذية الراجعة قد تجلب الهشاشة بقدر ما تجلب الأداء. بعد تحقيق المواصفات الأساسية، احسب دالة الحساسية $S(s) = \frac{1}{1 + C(s)G(s)}$. تفقد ما إذا كانت قيمة الذروة تبقى تحت حد المتانة المطلوب. هذا الحساب السريع يمنع المفاجآت عندما يختلف النظام الفيزيائي عن النموذج الاسمي.